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同一法为勾股定理的推导提供解题生长点 　　【摘要】如何用解题式的思维方式去分析勾股定理的存在？教学中，若没有从教师提示的面积法分析直角三角形的三边关系，我们是否能让学生自己通过解题发现勾股定理，在这个过程中，教师需要做好怎样的方法铺垫，以帮助学生解题思维的顺利生长. 　　【关键词】同一法；勾股定理；解题思维生长点 　　1我怎么没想到 　　常见的勾股定理教学中，命题引入方式有两种： 　　（1）直接呈现式.有以下几种具体呈现形式： 　　①呈现毕达哥拉斯观察到的地板图案，请学生观察并提出问题：“你认为这三个正方形的面积之间存在着怎样的关系？”如图1； 　　②呈现以特殊数3，4，5为边长的直角三角形的三边正方形图，请学生算一算：“这三个正方形的面积之间存在着怎样的等量关系？”如图2； 　　③呈现弦图，请学生观察并分析其中几何图形的面?e关系，如图3. 　　（2）问题发生式.此种教学法的常见形态有： 　　④测量猜想式.如：作两个直角三角形，使其两直角边分别是3cm和4cm，5cm和12cm，测一测斜边的长度； 　　⑤格点转移式.如：在网格中，作一个直角边长分别为3、4的直角三角形，量一量该直角三角形的斜边长是多少？若利用圆规，以斜边长为半径作弧，可发现圆弧经过另一个格点，数出半径长恰好是5个单位长度.同理，可以测量出直角边长分别为5、12的直角三角形的斜边长为13. 　　笔者初上讲台，使用直接呈现式的教学方式.每当展示勾股图的时候，笔者感受到学生的惊叹连连：“好聪明啊！”“他是怎么想到去算正方形面积的呢？”“我怎么就想不到呢？”“为什么会想到研究一个三边长为3、4、5的直角三角形？”虽然学生向笔者投来敬佩的目光，但似乎，疑问多于赞叹. 　　毕达哥拉斯从地板的图案上顿悟出勾股定理，是机缘巧合，但讲这样的故事就是学习数学了吗？ 　　再次教学，笔者开始改用问题发生式教学，提出问题：你会求直角三角形的斜边长吗？笔者以为，用问题驱动的方式可以引导学生积极展开思维.而事实上，因为量一量的对象是特殊边长的直角三角形，结果也特殊，所以在量一量的环节，学生表现平静，无疑无赞.当笔者再接下来问：“这三个数据之间有什么特殊的关系吗？”学生的表现更是一愣一愣的，几分钟内，教室内只听见小小的嘀咕声，却没人说得出结果.当笔者再次点醒：“你没有发现32+42=52、52+122=132吗？”教室内顿时如炸开了锅一样，“原来是这样啊！”、“我怎么就没想到呢？” 　　一句话：“我怎么没有想到？” 　　――“我怎么没有想到以直角三角形的三条边为边构建正方形？”； 　　――“我怎么没有想到3、4、5之间、5、12、13之间会有什么相同的数量关系？”； 　　课后，学生问我：“老师，你是怎么想到的？你可以把你想到的方法告诉我吗？” 　　――“是啊，我是怎样想到的呢？前人是如何想到的呢？”笔者自问，并深深地思考：“毕达哥拉斯的顿悟虽是一种重要的解题方式，但学生对此的惊讶多于理解！是什么方法能让人想到这样的构图法解题？我该如何解题（求直角三角形的斜边长）、我该如何构图？” 　　2我该如何解题 　　再次执教这节课，笔者深深地思考：“如果没有勾股定理，我们应当如何求解直角三角形的斜边长？” 　　2.1从认知角度进行解题类别分析 　　求线段长度是常见的题型.一般在梳理问题条件时，需要从两个方向进行准备分析：一是问题条件的准备，二是知识准备.初中范围内，几何以三角形为基础，展开学习四边形、多边形、圆形，依据归纳转化的思想，当我们对知识系统中的上层知识进行学习、研究时，常常将其转化为对基础问题的求解，如求解多边形内角和时，将多边形转化为三角形进行求解；学习平行四边形的性质时，将四边形转化为三角形进行学习；解决不规则图形面积时，常常将不规则图形转化为规则图形进行处理.所以，对图形常见的处理方式是高级向低级的转化，不规则的图形向规则的图形进行转化，这是一种下位学习的方式，也是一种下位式的解题方式；奥苏伯尔曾在对认知结构进行分析的基础上，提出关于命题学习的三种分类：上位学习、下位学习、并列学习.通过命题学习，我们获得了命题的结论性知识，用命题的“结论解题”是数学解题中常常偏好的一个方向，只要能对问题的模式进行识别、会从命题的条件辨别异同，能在求同思维及求异思维的指导下进行分析，就可以解题.这是一种原型式的、特征式的解题方式.这种解题方式的缺点就是以结论为主，以原型模式辨别为主，很少在解题过程中明确解题的生长基础，并寻找解题的生长点. 　　借鉴奥苏伯尔的命题学习分类，我们也将解题学习分为三类：上位式解题、下位式解题、并列式解题.上位式解题：在解决问题时将问题向上一个层级的概念、命题进行转化，借助包容程度更高的命题、概念帮助解决问题；下位式解题：将问题向