小议“场论”.DOC

小议“场论” 郭威 P本学期的多变量微积分课程中，我学习了“场论”的有关知识。“场”是从大量物理现象中抽象出来的一个物理概念。一个物理量在空间的分布称为该物理量的场。 来说一下矢量场。科学家们从对流体运动的描述中受到了启迪！我们考虑流体的定常流动，流体中每一点都有一个确定的流速，因此流体定常流动形成定常的流速场。它是一个矢量场，可以在流体中画出一些流线来形象地描述流体的流动。这之中有两个问题是我们感兴趣的。 第一个感兴趣的问题是流速场中是否有流体从中流出的“源”和流体流入的“汇”？源和汇在什么地方？这可借助于计算通过一个闭合曲面的流量表示出来。 为此，我们在数学上引入通量的概念，考察向量场通过一个封闭曲面S外侧的通量，记成N，。如果0则表示S面内必有流体从中流出的源；如果0则表示S面内必有流体流入的汇；如果=0则表示闭合曲面内既无源又无汇，流体从S面的一部分流入，从另一部分流出，两者数量相等，流量抵消；另一种可能性是其内存在强度相等的源和汇。为了区分究竟属哪一种情形，可以选取更小的闭合曲面来计算。考虑当V无限收缩于点M的极限称为M处源的密度，定义为M点的散度，区域V内散度处处为零的向量场称为无源场。 另一个感兴趣的问题是流速场中是否有涡旋？流体的涡旋运动是围绕一条轴线（称为涡线）进行的，大气中的龙卷风是最明显的例子。涡线或者通向流体的边界，或者在流体内形成闭合曲线。涡线在什么地方？这可以通过计算沿一条闭合环路的环流表示出来。 从而我们引入环量的概念，考察场沿闭合曲线的功量，记为，叫做场沿回路L的环量。如果0，则表示存在与环路L绕向方向相同的涡线穿过环路；反之表示存在相反的涡线；如果=0，则同样存在两种情况。为了区分究竟是哪一种情形，可选择更小的闭合环路来计算。考虑当S无限收缩于M时的极限称为流体在点M处绕方向n的涡量。它刻画了位于M处的流点绕方向n转动的强度。将其最大值以及取到最大值的方向所构成的一个向量称为在点M处的旋度，记作。若沿区域V内任意闭路的环量都等于零，则称是区域V内的保守场或有势场。 有了以上这些概念，我们给出场论中最重要的两个定理。一是高斯定理：。二是斯托克斯定理： 这些看似抽象、枯燥的概念、定义、定理在物理中有着重要作用！ 来看一下静电场中的Gauss定理：在静电场中，通过任一封闭曲面的电通量，等于此曲面所包含的电荷总量的4π倍，与闭合曲面外的电荷无关。可以这样证明：先证包围点电荷q的闭合曲面的电通量都等于。由场强公式，和电通量的定义式，可得（其中为面元对质点所张的立体角）。因此，对于一个将该点电荷包围在内的闭合曲面S对点电荷所张的立体角为，则通量为。同理可证：通过不包围点电荷的任意闭合面S的电通量恒为零。最后，由场强的叠加原理可知：多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的电通量的代数和。从而，我们便证明了静电场中的Gauss定理。 我们在对磁场的研究中类似电通量引入磁通量的概念，它也有着与静电场相类似的结论。但由于磁感应线是无始无终的闭合线，从一个闭合曲面S的某处穿进的磁感应线必要从另一处穿出，所以，通过任意闭合曲面S的磁通量恒等于零，即。 我们通过以上例子可以加深对散度、有源、无源场的理解。而关于旋度、有势（保守）场的应用更是广泛。 有势场中的能量守恒定律以及电磁感应中的感生电动势都是如此。我们知道，即使不存在导体回路，变化的磁场周围也会激发一种电场，叫做感应（涡旋）电场。它与静电场之间的显著差异就在于描述涡旋电场的电场线是闭合的，其旋度不像静电场那样等于零，因此它不是保守场。 此外，我们所熟知的阿基米德定律，以及由我们刚才提到的库仑定律、高斯公式磁场的无源性，再加上安培定律、法拉第定律所组成的麦克斯韦方程等等很多定理、定律的证明和对一些现象的观测和研究都离不开“场论”。的确，“场论”在解决某些联系到数学与物理方面的问题上发挥着巨大威力!