16-1.5.2汽车行驶的路程.docVIP

1.5.2汽车行驶的路程 教材分析 本节内容是数学选修2-2第一章 导数及其应用 第五节的第二课时，是在学习了求曲边梯形面积的知识后，对定积分的概念再学习，本节又可作为定积分概念引入的铺垫课，对后续内容的学习起着奠基的作用，本课题的重点是以匀速代变速及无穷逼近的思想的运用，掌握过程步骤：分割、近似代替、求和、逼近（取极限），难点是对以上“四步曲”的过程的理解．通过探究变速直线运动的路程问题，可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力，要求学生有意识地运用特殊与一般思想、数形结合思想，在解决新问题的过程中，又要自觉的运用化归与转化思想，体现解决数学问题的一般思路与方法. 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解变速直线运动的路程的求解问题. 教学目标 重点: 掌握过程步骤：分割、近似代替、求和、取极限. 难点：对以上“四步曲”这一过程的理解． 知识点：会运用“分割、近似代替、求和、取极限”这四步求变速运动的路程问题. 能力点：如何探寻将变速问题转化为小区间上的匀速问题，“以不变代变”和“无穷逼近”的数学思想的运用. 教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：如何运用每个小区间上的任一点处的速度代替整个小区间上的速度. 考试点：分割、近似代替、求和、取极限这“四步曲”的运用. 易错易混点：近似代替时部分学生对任意一点都可代替理解不是很清楚. 拓展点：由求变速直线运动的路程问题探寻定积分的概念 教具准备 多媒体课件 课堂模式 学案导学 一、引入新课 利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？ 首先我们来复习一下上节课所学习的求曲边梯形的面积的基本思想和步骤： （1）分割、（2）近似代替、（3）求和、（4）取极限 我们是按照以上四步通过“以直代曲”和“无穷逼近”的思想求解出了曲边梯形的面积，那么类比以上的过程，我们能否根据物体的速度与时间的关系求其在一定时间内经过的路程呢？ 问题：汽车以速度做匀速直线运动时，经过时间所行驶的路程为．如果汽车作变速直线运动，在时刻的速度为（单位：/），那么它在(单位：)这段时间内行驶的路程（单位：）是多少？ 【设计意图】通过让学生回顾上节课学过的内容，类比两类问题的异同得出也要分四步去完成求解做变速直线运动的汽车行驶的路程的问题. 二、探究新知 分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间分成个小区间，在每个小区间上，由于的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得（单位：km）的近似值，最后让趋紧于无穷大就得到（单位：km）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出变速直线运动的路程）． 1．分割 在时间区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间： ，，…， 记第个区间为，其长度为 把汽车在时间段，，…，上行驶的路程分别记作： ，，…， ，显然， （2）近似代替 当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从物理意义上看，即使汽车在时间段上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代曲”，则有 ① （3）求和 由①， == == 从而得到的近似值 （4）取极限 当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有 思考1：将上述过程中近似代替中的左端点处的速度换成在右端点处的速度值或小时间间隔内的任意一点处的速度值去代替求出来的结果会有什么变化？ 由于每一个小时间间隔当趋于无穷大时是非常小的，可以近似的认为在该时间间隔上的速度是不变的，因此选择哪一点作为近似代替的量都能求出相同的结果. 思考2：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程与由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积有什么关系？ 结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程在数据上等于由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积． 结论：一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及“无限逼近”的思想，求出它在内所作的位移． 【设计意图】以上过程与推导曲边梯形面积的过程类似，让学生进一步体会分割、近似代替、求和、取极限的方法，体会“以不变代变”和“无限逼近”的思想. 三、理解新知 分析并理解解体的过程，体会