如果力学体系处于平衡状态.ppt

拉格朗日 拉格朗日［Lagrange, Joseph Louis，1736-1813］ 法国数学家，主要研究力学，尤其分析力学。百年以来数学界仍受其理论影响。 于1736年1月25日在意大利西北部的都灵出生。少年时读了哈雷介绍牛顿有关微积分的文章，因而对分析学产生兴趣。他经常与欧拉书信往来，探讨数学难题「等周问题」的过程，当时只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法， 奠定变分法的理论基础。 1755年，19岁的他就已当上都灵皇家炮兵学校的数学教授。不久便成为柏林科学院通讯院院士。两年后，他参与创立都灵科学协会的工作，并于协会出版的科技会刊上发表大量有关变分法、概率论 、微分方程、弦振动及最小作用原理等论文。这些著作使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。 到了1764年，他凭万有引力解释月球天平动问题获得法国巴黎科学院奖金。 1766年，又因成功地以微分方程理论和近似解法研究科学院所提出的一个复杂的六体问题［木星的四个卫星的运动问题］而再度获奖。 同年，他应邀到柏林科学院工作，并在那里居住达20年。 1788年，他写了继牛顿后又一重要经典力学著作《分析力学》。书内以变分原理及分析的方法，把完整和谐的力学体系建立起来，使力学分析化。他于序言中更宣称：力学已成分析的一个分支。 分析力学与矢量力学的区别 在前面各章都是按“牛顿方式”研究力学问题，即为矢量力学。 它和分析力学在观点和方法上都有区别。矢量力学所牵涉到的 量大都是矢量。力和动量是它的两个基本量；而分析力学是拉 格朗日和哈密顿等人所建立的变分原理为基础的，牵涉到的量 为标量，基本量是能量。搞清矢量力学与分析力学的主要区 别，对解决分析力学有关问题大有好处。 1、处理有关约束问题时：在矢量力学中须用约束力代替约束条件，但往往由于约束力性质未知，所以事先既要讨论对它作出的某些假设，事后又常常要将它从方程中消去；分析力学在承认这些条件的前提下进行讨论，而不追问需要在何处用什么力来维持这些条件。这样，解题就会方便得多，这是分析力学的一个优点。 2、在建立运动微分方程时，在分析力学中可以根据统一的最小作用量原理求得。这样由极值原理所得方程与坐标系无关。当应用矢量力学寻找加速度时，尤其在空间问题中往往要用坐标系或柱坐标中的分量是去解题，这无疑会带来一些困难，这也是在矢量力学中很少使用柱，球坐标系的原因（除非迫不得已）；而在分析力学中这个困难就不复存在。 3、在处理质点组问题时，矢量力学是将个别质点孤立出来，分析每个质点所受的力，再用牛顿定律建立它们的运动微分方程；而分析力学是将质点组看成一个整体，只需求出一个仅与各质点位置（速度）有关的标函数。单凭微分便能获得有关各力的知识，并得到整个质点组的运动微分方程。 4、分析力学是以普通原理为基础（微分或积分的方法），采用分析手段导出系统整体的基本运动微分方程，并研究这些方程本身及积分的方法，与数学的关联更加紧密。因此，线性常微分方程组及非线性微分方程经常会碰到，数学上求泛函数的极值方法则是分析力学中哈密顿原理的基础了。所以，具有高等数学知识的读者不难解决较复杂的力学问题。 * 第五章 分析力学 分析力学是拉格朗日等人在十八世纪在牛顿力学 基础上建立的经典力学的一个体系，因为所用的方法 完全是数学分析，称之为分析力学。建立分析力学的 目的是为了用数学方法解决复杂的力学问题，后来的 研究发现，分析力学的体系和方法不局限于力学，对 物理学的其他领域也非常有用。其原因是将物理规律 抽象为数学原理和定理，揭示了物理规律背后更普遍 的性质，掌握这些对今后的学习很重要。 这一章的重点是拉格朗日方程，哈密顿正则方程 和正则变换在统计物理中有重要应用，泊松括号的概 念在量子力学中非常重要。 第五章 分析力学 莫培督 哈密顿 拉格朗日 泊松 欧勒 高斯 ? 约束与广义坐标 5.1.1约束的概念和分类 在一个力学体系中常存在着一些限制各质点自由运动的条件，我们把这些条件叫做约束。 力学体系 约束对各质点位置限制的条件通常可以表示为力学体系中质点的坐标、速度和时间的方程。 按约束方程的特性可将约束分为以下几种： （1）稳定约束与不稳定约束 如果限制系统位置的约束不是时间t的函数，则约束方程中不显含时间t，这种约束叫做稳定约束。 反之，如果约束是时间t的函数，那么这种约束就称为不稳定约束。 （2）可解约束与不可解约束 质点始终不能脱离的那种约束叫不可解约束。 或 如果质点虽然被约束在某一曲面上，但在某一方向可以脱离，那种约束就叫可解约束。 （3）几何约束与运动约束 只限制质点在空间的位置，因而表现为质点坐标的函数的约束被称作几何约束，又叫完整约束。 除了限