碎形(fractal)－混沌世界的秩序结构.ppt

高級中醫學 Advanced Traditional Chinese Medicine 渾沌的探討 渾沌是什麼? Chaos的特徵 渾沌的測量:量子檢測 人工生命 渾沌是什麼? 渾沌一詞在英文、法文、德文中都寫作chaos，在俄文中寫作xaoc， 均源自希臘文ΧΑΟΣ。 ?渾沌理論 渾沌理論被認為是本世紀最偉大的三項理論之一，是繼相對論、量子力學之後，又一次震撼科學界的觀念革命。不同的是，渾沌理論並不侷限於自然科學，它正以跨領域的方式吸引了各種學科的研究者，而且，研究的是我們日常生活中的經驗與景象。 Chaos的特徵 第一個特徵：對起始條件的敏感性 ?蝴蝶效應(butterfly effect) ?疊代 ? 分叉 ?孤立波 第二個特徵是:不可預測性 第三個特徵：遍歷性 ?亂中有序 第四個特徵：自我相似性 ?碎形(factal) 對起始條件的敏感性 蝴蝶效應(butterfly effect) 麻省理工學院的氣象學家羅倫茲(Edward Lorenz)形容蝴蝶效應，他說：南美洲亞馬遜河流域的熱帶雨林中一隻蝴蝶，偶然搧動了翅膀，所引起的微弱氣流可能會造成一周後紐約的龍捲風；也就是說，只要開始時有一點點小小的差異，影響會隨著時間而擴大，造成後來南轅北轍的結果。 ?蝴蝶效應(butterfly effect) Edward Lorenz的「數值天氣預報」試驗得出來的數據，圖案看來酷似一隻蝴蝶。 蝴蝶效應中的疊代、分叉與孤立波 疊代 iteration 是一種反覆演算，不斷把計出的答案，放回方程式再計算。   計算科學-實際生活上常遇到的碎形問題 卡區的雪花曲線 Contor Set 如Cantor集、 Koch曲線、 Peano曲線等 碎形幾何與碎形理論 – Fractal 約七Ｏ年代左右，數學家 Benoit Mandelbrot 在一篇幾乎算是他思想轉捩點的論文「英國的海岸線有多長？」中，發展出了新的維度觀念── 幾何學：碎形。 　三十年間，碎形幾何，與混沌理論，複雜性科學共同匯合，試圖解釋過去科學家們所忽略的非線性現象，與大自然的複雜結構，把觸角伸入，除了物理、化學之外的生理學、經濟學、社會學、氣象學，乃至於天文學所談及的星體分布。搖身一變，碎形幾何已經變成了主要能描述大自然的幾何學了。這些研究開拓了人們對於維度、尺度、結構的新看法，碎形的特形如下： 1.碎形具有分數維度 Ds=lnN/ln(1/r) 其中 r 為尺度比率，N 為子集合個數 稱之為「碎形維度」Fractal Dimension 2.碎形具有尺度無關性 對於「同一個」碎形結構，以不同大小的量尺來量度「可觀察的區域」，碎形會具有一致的碎形維度。例如，如果我們不同程度地放大或縮小 Mandelbrot Set，我們會發現圖形的複雜度，或摺疊程度，或粗糙程度並未因此而改變。 3.碎形具有自我模仿性 對於「同一個」碎形結構，自我模仿就是尺度一層一層縮小的結構重複性，它們不僅在越來越小的尺度裡重複細節，而且是以某種固定的方式將細節縮小尺寸，造成某種循環重現的複雜現象。 例如： 3.碎形具有自我模仿性 4.碎形代表有限區域的無限結構 例如，卡區的雪花曲線，是一條無限長，而結構不斷重複的線段，被限制在最初三角形的正圓區域內。 例如，原本是一固定線段的 Contor Set，最後變成一系列數量無窮，但總長度卻為零的點集合。 5.碎形隱含一種整體性 我們可以從某一尺度的碎形，來推知另一尺度的「同一個」碎形的大致樣子，這意味著一種整體性，小細節的傾向可以透露大細節的傾向，大細節的絲毫改變可以令所有小細節全面改觀，再造成整個碎形圖形的變化。 6.碎形是觀察手段的相對結果 回到 Mandelbrot 的那篇論文「英國的海岸線有多長？」，作為碎形結構的海岸線本身，在某種意義下是無限長，但是對於不同的觀察者而言，海岸線長度卻端視其手中的量尺（不同的觀察手段）而定，Mandelbrot 說：「數據結果是依觀察者與其對象而改變。」也正是這個觀念，才促使他發展出不同於過去科學家的維度量度的新理論。 7.碎形是非線性動力過程的結果 大自然的外貌、結構是非線性動力過程所造成的結果，我們也只能在非線性現象中，才能找到碎形的蹤跡，於是碎形幾何與非線性動力學有著密不可分的關係。 碎形的性質可以分為兩種，而碎形的種類也有兩種，分別可以由定（Deterministic）方式與序率（Stochastic）方式來說明。 定率方式是一種“一一對應”的因果關