13 无穷小与无穷大.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * 三、 无穷大量 四 、无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小量 1.3 无穷小量与无穷大量 二、 无穷小量的阶 当 一、 无穷小量 定义1 . 若 时 , 函数 则称函数 例1. 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 为 时的无穷小量 (简称无穷小). 时为无穷小. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中? 为 时的无穷小 . 定理 ( 无穷小与函数极限的关系 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 无穷小的性质（无穷小运算法则） 性质1. 有限个无穷小的和、差、积还是无穷小 . 设 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例2. 性质2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 设 ,又设 则 即 是 时的无穷小 . 推论 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求 解: 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的水平渐近线 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 二、无穷小的阶 都是无穷小, 例5 . 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 定义. 若 则称 ? 是比 ? 高阶的无穷小, 若 若 若 或 设 是同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 ? 是 ? 的同阶无穷小; 则称 ? 是关于 ? 的 k 阶无穷小; 则称 ? 是 ? 的等价无穷小, 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 当 ～ 时 ～ ～ 例7. 故 时 是关于 x 的二阶无穷小, ～ 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8. 证明: 当 时, ～ 证: ～ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1. 例9. ～ ～ 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 等价无穷小定理 定理2 . 设 且 存在 , 则 证: 例10. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 等价无穷小替换定理 设对同一变化过程 , ? , ? 为无穷小 , 说明: (1) 和差取大规则: 有以下极限运算的简化规则 若 ? = o(?) , (2) 和差代替规则: 例11. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例12. (3) 因式代替规则: 存在或有界, 则 例13. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ? 例14. 求 解: 原式 例15. 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、 无穷大量(无穷大) 定义2 . 若任给 M 0 , 时 , 有 则称函数 当 时为无穷大, 当 若将定义式改为 则记作 (正数 X ) , 记作 总存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例16. 函数 当 但 所以 时 , 不是无穷大 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 17. 若 则直线 为曲线 的铅直渐近线 . 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、无穷小与无穷大的关系 若 为无穷大, 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 则 为无穷大. 则 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2. 在自变量的同一变化过程中, 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例18. 当 x →1 时，x-1 是无穷小， 而 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 无穷小与无穷大的定义及其关系 2. 无穷小的性质及与函数极限的关系 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 3. 等价无穷小替换定理 4.常用等价无穷小 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 无穷小的比较 设 ? , ? 对同一变化过程为无穷小, 且 ? 是 ? 的高阶无穷小 ? 是 ? 的同阶无穷小 ? 是 ? 的等价无穷小 ? 是 ? 的 k 阶无穷小 思考与练习 1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明。 2. 当x→0时，1－x2与x2－x3相比，哪一个是高阶无穷小？