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第一章 函数 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1.理解函数的概念． 2.了解分段函数、基本初等函数、初等函数的概念． 3.了解反函数、复合函数的概念，会分析复合函数的复合结构. 4.会建立简单实际问题的函数模型. 重点 函数的概念、复合函数和初等函数的概念，会求函数的定义域. 难点 分段函数的概念，建立简单实际问题的函数模型. （二） 内容提要 1.函数的定义 函数的定义 定义1 设和是两个变量,是一个给定的数集,如果对于每个数,变量按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称是的函数,记作.数集称为该函数的定义域, 称为自变量, 称为因变量. 当自变量取数值时，因变量按照法则所取定的数值称为函数在点处的函数值，记作.当自变量遍取定义域的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集=称为函数的值域. 定义2 设与是两个非空实数集，如果存在一个对应规则，使得对中任何一个实数，在中都有惟一确定的实数与对应，则对应规则称为在上的函数，记为 , 称为对应的函数值，记为 , 其中，称为自变量，称为因变量. 由定义2知, 函数是一种对应规则，在函数中，表示函数，是对应于自变量的函数值，但在研究函数时，这种对应关系总是通过函数值表现出来的，所以习惯上常把在处的函数值称为函数，并用的形式表示是的函数.但应正确理解，函数的本质是指对应规则.例如就是一个特定的函数，确定的对应规则为 就是一个函数. (2) 函数的两要素 函数的定义域是自变量的取值范围，而函数值又是由对应规则来确定的，所以函数实质上是由其定义域和对应规则所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如，就是相同的函数. 2． 函数的三种表示方法 图像法 用函数的图形来表示函数的方法称为函数的图像表示方法,简称图像法.这种方法直观 性强并可观察函数的变化趋势,但根据函数图形所求出的函数值准确度不高且不便于作理论研究. 表格法 将自变量的某些取值及与其对应的函数值列成表格表示函数的方法称为函数的表格表 示方法,简称表格法. 这种方法的优点是查找函数值方便，缺点是数据有限、不直观、不便于作理论研究. 公式法 用一个（或几个）公式表示函数的方法称为函数的公式表示方法,简称公式法，也称为 解析法. 这种方法的优点是形式简明，便于作理论研究与数值计算，缺点是不如图像法来得直观. 在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况： 分段函数 在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如 就是一个定义在区间上的分段函数. ② 用参数方程确定的函数 用参数方程 （） 表示的变量与之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数 可以用参数方程表示. 隐函数 如果在方程中，当在某区间I内任意取定一个值时，相应地总有满足该 方程的惟一的值存在，则称方程在区间I内确定了一个隐函数.例如方程就确定了变量是变量之间的函数关系. 注意 能表示成(其中仅为的解析式)的形式的函数,称为显函数. 把 一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如可以化成显函数.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如. 3． 函数的四种特性 设函数的定义域为区间，函数的四种特性如下表所示. 函数的四种特性表 函数的特性 定 义 图像特点 奇 偶 性 设函数的定义域关于原点对称，若对任意满足则称是上的偶函数；若对任意满足则称是上的奇函数，既不是奇函数也不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数 偶函数的图形关于轴对称;奇函数的图形关于原点对称 单 调 性 若对任意，当时，有,则称函数是区间上的单调增加函数；当时，有,则称函数是区间上的单调减少函数，单调增加函数和单调减少函数统称单调函数，若函数是区间上的单调函数，则称区间为单调区间 单调增加的函数的图像表现为自左至右是单调上升的曲线; 单调减少的函数的图像表现为自左至右是单调下降的曲线 有 界 性 如果存在，使对于任意满足则称函数是有界的 图像在直线与之间 周 期 性 如果存在常数，使对于任意，，有则称函数是周期函数，通常所说的周期函数的周期是指它的最小周期 在每一个周期内的图像是相同的 4． 基本初等函数 六种基本初等函数见下表 六种基本初等函数表 函数 解析表达式 常函数 （为常数） 幂函数 （为常数） 指数函数 （,为常数） 对数函数 （,为常数） 三角函数 反三角函数 arc arc,arc 5. 反函数、复合函数和初等函数 反函数、复合函数和初等函数的定义见下表 几种函数的定义表 函数种类 定 义 举 例