分形测度与多重分形.pdfVIP

冽惠一；谚 7 6j— 6 分形一 一它的应用与进展 第一讲 分形测度与多重分形 黄 昀 c≠_f (北京大学物理系 ，北京 l00~71) 编者按： 自从 70年代曼德勃 罗特提 出分形理i}以来，它成 了一个热门的课题，不 论 是理论方 面还是应 用方 面都得到 了迅速 的发展．本刊 从 1986凫开姑介 绍这方 面的文 章 “1 以来 ，现在仍不断地 收到许 多读者 的来信来稿 ，有的是报道他们 的工作成果，有 的 是希 望禾刊能介 绍一 些分开；的新进展．为此编辑 部委托 几位 同志采 组织这个 专题 系列 ， 其 目的是帮助读者 了解这个领域 中的新进展和它 的广泛应用．科学在迅速发展 ，我们 国 内在分彤 方面 的科 研也正在蓬勃*起．因而这 专题 系列就会 有 两个不足之处 ，一个是 介绍的内容有限 ，它只可能是沧海一束，不能完奎满足读者 的要求 ；另一个是不能立即列 出具体 的专题 目录．我们 衷 ·希望广大读者能提 出建议和要求 ，协助我们一起 来 舟好这 个 专题 ． 对于一个大学一年级 的学生 ，在 他们 学习 们局 围环境 的不 同而具有不 同的奇异程度 ．为 处理物理问题时常常遇到 的是一些很简单很理 了描述这类奇点集 台和它们 的奇异程度，近几 想 的系统．例如一块立方形术料的密度 ，一个 年来 由 T．C．Hal~ey 等人发展了有关分形 带 电圆球体的电势等．但实际的情况却常常不 测度与多重分形的理论．下面我们将介绍这方 尽如人意 ，譬如说木料被 白蚁蛀 了，变成 了一块 面 的内容． 千疮百孔的立方体 ．这时如何求它的密度呢?又 譬如带电圆球体 的表面特别粗糙 ，到处是 凹凸 一 、 分 形 测 度 不平 的尖点 ，这时又怎能求 出它 的电势呢?按 经典数学 的语言来说就是这些系统具有许多奇 在讨 论多重 分形之前 ，让 我们先简 略地 回 点，对于奇点系统经典数学家是束手无策的，他 顾一下分形维数 的定义．设先考虑一个正在生 们经常采取的办法是挖掉奇点或者在奇点处补 长的物体 ，构成此物体 的最小微粒的尺度为 上一个数值让它与周 围的点连接起来变成一条 (铡如胶体凝聚中的分子等)．现在在这物体中 光滑曲线．但是当一个系统具有无穷多的奇点 取一长度为L的体积 (L)．当我们用以 为 时，那就不能采取上述方法而必须另辟蹊径 了． 直径的小球去覆盖此物体时，就需要用Ⅳ个小 近年来提 出的分形几何 ，以及随后发现的大量 球才能完全覆盖它 ．而Ⅳ显然是L和 的函数 ． 分形体如：海岸线 、雪花 、气体放 电、石油开采 按数学语言来描述时，就可写成为 当 L一 。。， 中的粘性爪进 (viscousfingering)、在 多孔介 或 一 0对 ，必然有 Ⅳ一 o。．根据这个关系． 质 中流体的流动 、湍流过程和计算机上模拟的 如果将 固定 ，则有 有 限扩散凝聚过程 (简称 DLA 模型)等．它们 Ⅳ(L)～ L 在几何结构上都具有分形的特征 ，从数学上看 D— H ， (1) 它们是无穷多奇点的集合．这些奇点将根据它 物 理 其 中D称为该物体的豪斯道夫维数．反之 ，如 从图上可看到现在有三种不 同的高度用来代袁 果固定 L，则有 质量分布概率的大小． 最低 的一种对应于 ， Ⅳ(f)～广。， 因为在两次等分中，它都取 P 所 以质量分布 D— li ln 概 率