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56 数学教学研究 第33卷第 5期 2o14年 5月 利用定积分求 n项和式的极限 i力军 (兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 730070) 摘 要：函数极限是高等数学的基础，其中 项和式极限的求解是一个难点．本文解析定积分的定 义，结合实例，具体分析并给出了利用定积分的定义计算71项和式极限的方法和步骤，充分说明这是 一 种非常巧妙的方法，能把复杂的和式极限转化为简单的定积分来计算，大量的简化 了计算． 关键词：和式；极限；定积分 中图分类号：013 l 引言 虽然定积分的定义说明咒项和式的极限 极限是微积分学的理论基础，求极限是 可以转化为定积分来计算，但是没有指出它 高等数学的重要内容．虽然求函数极限的方 是哪个函数的积分和，也就不能确定被积函 法有很多，但是对于 项和式极限的求解仍 数和积分区间．下面我们针对区间r-a，6] 等 然比较困难．本文将解析定积分的定义，给出 分的常见情况，通过对和式结构的分析，指出 实例，具体讨论如何把 项和式转化为积分 该和式是哪个函数在哪个区间上的积分，从 和，从而利用定积分巧妙求解和式的极限． 而找到被积函数和积分区间． 2 预备知识 定理1 设厂()在[n， 上可积，将区 定义 设 ，()在区间[口，6]上连续，则 间 ，竹等分，则Ax一_ba ． ，(z)在[n，6]上可积，即，(z)在[n，上的任 rb (1)若取8为每个小区间 H，z]的左 意积分和均以lf(x)dx为极限，即 J 口 端点，即8一n+ 二 ，i：1，2，…， 广I6f(x)dx一i∑，(8)Axi， ， 则有 4 = 1 其中 一m ax f，8为区间[z1，Xi]内任意 … ． lira~f I{ ‘ ” 1 T1 一r，’=I ll·Ⅳ 一 点，一 1，2，…， r6 一 I厂(z)出； 定积分定义表明只要，()在[n， 上可 积，不论如何划分区间，不论在小区间上如何 (2)若取8为每个小区间[耳 ，五]的右端 任意取点，和式的极限都可以转化为定积分． 点，即8一n+丛 ，i一 1，2，…，咒，则有 如果我们逆向思维，就可以得到和式极限转 化为定积分求解的公式． l ，— ’im。。奎i=1L口+Ⅳ]J． 3 利用定积分定义求 项和式极限 r6 一 If(x)dx． 3．1 公式推导 J a 收稿 日期：2014