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求极限的方法小结 阮正顺 极限思想贯穿整个高等数学的课程之中，而给定函数的极限的求法则成为极限思想的基础，因此有必要总结极限的求法，其求法可总结为以下几种： 一、利用极限四则运算法则 对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单，但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变形或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定，常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换。 例 1. ?? 2. 二、利用两个重要极限 两个重要极限为：或使用它们求极限时，最重要的是对所给的函数或数列做适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。 例 1. ?? 2. 三、利用夹逼准则求极限 关键在于选用合适的不等式。 例 1. ?? 2. 设，且求 四、利用单调有界准则求极限 首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。 例1. 设， 求极限。 五、利用无穷小的性质求极限 有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。 例 1. ??????2. 六、利用函数连续性求极限 设在点处连续，则。 例 1. ?????2. 七、利用洛必达法则求极限 洛必达法则对求未定式的极限而言，是一种简便而又有效的方法，前面出现的许多极限都可以使用此法则。使用时，注意适当地化简、换元，并与前面的其他方法结合使用，可极大的简化运算。 例 1. ?? 2. ?? 3. 八、利用麦克劳林展式或泰勒展式求极限 设函数在的某个邻域内有定义，且存在，则对该邻域内任意点有如下表示式成立 此式称为的具有皮亚诺余项的阶麦克劳林展式，对某些教复杂的求极限问题，可利用麦克劳林展式加以解决。必须熟悉一些常用的展式，如： 计算过程中，要注意高阶无穷小的运算及处理。 例? 九、利用定积分定义及性质求极限 若遇到某些求和式极限问题，能够将其表示为某个可积函数的积分和，就能用定积分来求极限，关键在于根据所给和式确定被积函数以及积分区间。 例 1. ?? 2. 十、利用级数收敛的必要条件求极限 级数收敛的必要条件是：若级数收敛，则，故对某些极限，可将函数作为级数的一般项，只须证明此技术收敛，便有。 例? 十一、利用幂级数的和函数求极限 当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。 例? 求