一个关于求平面截柱面的交线在平面上的展开方程.pdfVIP

以“圆管的一段成一个固定角度切除”我们在空间直角坐标系O− xyz中建立一个模型： 为求计算方便，设一个圆柱面Π（代替圆管）的方程为 ⎧ 2 2 2 x + y = r Π: ⎨ ,(r 0) ⎩z 0 “一个固定角度切除”，我们用一个方便计算的平面Γ来截圆柱面Π，现在我们就来寻 找这个平面Γ. 为方便展开、投影和计算，这儿使截得的面要关于空间直角坐标系O−xyz的一个坐标 平面对称，我们不妨选取关于x−O− z平面对称。既然如此，那么截平面一定平行于 y 轴 （可取平行于向量a= (0,1,0)），现在就来求它的表达式。 设平面Γ和 轴交于点 ，和z轴交于点 ，则可以求得平面Γ x A(m,0,0)(m0) B(0,0,1) 的法向量为 i j k n= AB×a= −m 0 1 =(−1,0,−m)，则平面Γ的方程为 0 1 0 Γ :x+ mz− m= 0 那么截面的交线方程为： ⎧x+mz−m= 0 L:⎨ 2 2 2 ,(m 0,r 0) ⎩x + y = r L L 要求所截圆管边线的展开曲线，只需求LL在某个平面上的展平曲线即可，取某个平面 为： ，并且在 上标注新的平面坐标，生成 坐标系（o(−r,0,0)， 轴、 α: x= −r α u−o−v u 轴分别与 轴、 轴同向） v y x 由于前面我们有L关于x−O− z平面对称，我们只需求y 0部分的展平曲线即可。设 L上的任意一点(x ,y ,z )(x ≠ 0,y 0) 展开时关于圆柱轴转过的角为ϕ，展开边缘的曲 0 0 0 0 0 线时圆柱向 轴正向滚动的距离是u=ϕr，对应的 轴坐标值为v= z u v 0 那么： ⎧ y0 ϕ =π −arctan ,(x 0) ⎪ x 0 ⎪ 0 ⎨ ⎪ y0 ϕ =π +arctan ,(x 0) ⎪ x 0 ⎩ 0 2 2 2 u y = x tan 0 0 r 结合v= z0和 ⎧x +mz −m= 0