二次曲面习题课.ppt

例1. 研究方程 例 2. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 例3. 求坐标面 xoz 上的双曲线 例9. 将下列曲线化为参数方程表示: 例10. 求空间曲线 ?: 例11. 直线 例12 求 在xoy 面上的投影曲线方程。 例13 求 (5) 同理可得 由于 两两垂直，知 是正交的矩阵， 于是有 所以 例 8、试求单叶双曲面 上互相垂直的两 直母线交点的轨迹方程。 （课本P182, ex8） 解：过单叶双曲面上所求轨迹上一点 的两条直母线分别为L1和L2 当 时， 当 时， L1和L2的方向向量分别为 当 时， 当 时， 由 垂直，得 分别在 和 的情况下，计算上式各项，再整理得所求轨迹均为 解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为 故所求为 得所求为 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和 ? , 得旋转曲面方程为 绕 z 轴旋转一周, 求此旋转 转曲面的方程. 解: 在 L 上任取一点 旋转轨迹上任一点, 则有 得旋转曲面方程 所围的立体在 xoy 面上的投影区域。 上半球面 和锥面 在 xoy 面上的投影曲线 二者交线 所围圆域: 例14 求曲线 绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程. 解： 旋转曲面方程为 交线为 此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 ,它与所给平面的 作 图 练 习 (2) (1) 1、画图: (3) (4) * 解析几何习题课(二) Chap. 4 二次曲面(quadric surfaces) 空间解析几何的两个基本问题： 一、给定曲面，建立方程； 二、给定方程,研究它的图形及其几何性质。 1、柱面 (cylinder) 定义：一直线L沿一已知曲线C平行移动而得的曲面称为 柱面。 C ——准线 (directrix ) ， L ——母线(ruling ) 直柱面： 射影柱面 依次消去一个变元 射影柱面 柱面的参数方程(parametric equation)（P147 ex4） 圆锥面 直线l1绕另一条与l1相交于O的直线l2旋转一周 所得旋转曲面称为圆锥面. O —— 顶点 (vertex) 两直线的夹角—— 半顶角 锥面 一直线通过定点O，且沿空间中一条定曲线C 移动所产生的曲面称为锥面. O —— 顶点 C —— 准线（不唯一 ） 动直线 —— 母线（不唯一 ） 2、锥 面 (conical surface) 锥面的参数方程（P152 ex6） 3、旋转曲面 (surface of revolution) 定义：曲线C绕定直线l旋转一周所生成的曲面称为旋转 曲面。 l ——旋转轴 ， C —— 母线 旋转曲面的参数方程（P158 ex3） 4、椭 球 面 (ellipsoid) （1）椭球面的方程 （2）椭球面的性质 （1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。 （2） 并有六个顶点 （3）形状（与三个坐标面的交线）： 是一个椭圆 (ellipse) (2) 是一个椭圆 (3) 是一个椭圆 （4）椭球面的参数方程 （广义球坐标系） 5、双曲面 (hyperboloid) I．? 单叶双曲面 (hyperboloid of one sheet) 方程： 性质： （1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。 （2）有四个顶点 （3）形状： （1） 是一个椭圆 （腰椭圆） （2） 是双曲线