北理版矩阵分析课件4.ppt

于是有 如果令 从而有 其中 是半正定的H-矩阵， 是 酉矩阵。 由上面的结论可以给出正规矩阵的另外一种刻划。 定理：设 ，则 是正规矩阵的充分必要条件是 其中 是半正定的H-矩阵， 是酉矩阵，且 矩阵的谱分解 我们主要讨论两种矩阵的普分解：正规矩阵与可对角化矩阵。 设 为正规矩阵，那么存在 使得 其中 是矩阵 的特征值 所对应的单位特征向量。我们称上式为正规矩阵 的谱分解表达式。 设正规矩阵 有 个互异的特征值 ，特征值 的代数重数为 ， 所对应的个两两正交的单位特征向量为 ，则 的谱分解表达式又可以写成 其中 ，并且显然有 有上面的谱分解表达式又可以给出正规矩阵的一种刻划。 定理： 设 为一个 阶矩阵，其有 个互异的特征值 ， 的代数重数为 ， 那么 为正规矩阵的充分必要条件是存在 个 阶矩阵 且满足 将上面的式子矩阵化，即为 （2）首先判断出 ，由定理可知必存在 ，以及三阶正线上三角矩阵 使得 推论：设 ，则 可分解为 其中 ， 是 阶正线上三角矩阵， 是 阶正线下三角矩阵。 矩阵的奇异值分解 引理 1 ：对于任何一个矩阵 都有 引理 2 ：对于任何一个矩阵 都有 与 都是半正定的Hermite-矩阵。 设 ， 是 的特征值， 是 的特征值，它们都是实数。如果记 特征值 与 之间有如下关系。 定理：设 ，那么 。同时，我们称 为矩阵 的正奇异值，简称奇异值。 例 ：求下列矩阵的奇异值 解： （1）由于 显然 的特征值为5，0，0，所以 的奇异值为 （2）由于 显然 的特征值为 2，4，所以 的奇异值为 。 例 2 证明：正规矩阵的奇异值为其非零特征值的模长。 定理：设 ， 是 的 个奇异值，那么存在 阶酉矩阵 和 阶酉矩阵 使得 其中， 且满足 。 证明： 由于 ，所以 的特征值为 因为 是一个H-阵，所以存在 阶酉矩阵 且满足 将酉矩阵 按列进行分块，记 ，其中 于是有 从而有 记 ，这里 令 ，那么容易验证 选取 使得 是酉矩阵，则 由上述式子可得 这里，要注意 。 我们称此定理为奇异值分解定理。称表达式 为矩阵 的奇异值分解式。 如何求此分解表达式？特别要注意下面的关系式 即 由此可知 的列向量就是 的标准正交特征向量；而 的列向量就是