北理版矩阵分析课件5.ppt

定义：设 ，如果 个常数项级数 都收敛， 则称矩阵级数 收敛。如果 个个常数项级数 都绝对收敛， 则称矩阵级数 绝对收敛。 例 ： 如果设 ，其中 那么矩阵级数 是收敛的。 定理：设 ，则矩阵级数 绝对收敛的充分必要条件是正项级数 收敛，其中 为任意一种矩阵范数。 证明：取矩阵范数 那么对每一对 都有 因此如果 收敛，则对每一对 常数项级数 都是收敛的，于是矩阵级数 绝对收敛。 反之，若矩阵级数 绝对收敛，则对每一对 都有 于是 根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都正确。 定义：设 ，称形如 的矩阵级数为矩阵幂级数。 定理：设幂级数 的收敛半径为 为 阶方阵。若 ，则矩阵幂级数 绝对收敛；若 ，则 发散。 证明： 设 的Jordan标准形为 其中 于是 所以 其中 当 时，幂级数 都是绝对收敛的，故矩阵幂级数 绝对收敛。 当 时，幂级数 发散，所以 发散。 定理：矩阵幂级数 绝对收敛的充分必要条件是 。且其和为 。 例 1 ： （1）求下面级数的收敛半径 （2）设 判断矩阵幂级数 的敛散性。 解：设此级数的收敛半径为 ，利用公式 容易求得此级数的收敛半径为2。而 。所以由上面的定理可知矩阵幂级数 绝对收敛。 例 2 ： （1）求下面级数的收敛半径 （2）设 判断矩阵幂级数 的敛散性。 例 3 ： （1）求下面级数的收敛半径 （2）设 判断矩阵幂级数 的敛散性。 例 4 ：构造一个收敛的二阶可逆矩阵序列，但是其极限矩阵不可逆。 解： 显然每一个 均可逆，但是其极限矩阵 却不可逆。 Frobenious范数的性质： （1）如果 ，那么 （2） （3）对于任何 阶酉矩阵 与 阶酉矩阵 都有等式 关于矩阵范数的等价性定理。 定理：设 是矩阵 的任意两种范数，则总存在正数 使得 诱导范数 定义：设 是向量范数， 是矩阵范数，如果对于任何矩阵 与向量 都有 则称矩阵范数 与向量范数 是相容的。 例 1 ：矩阵的Frobenius范数与向量的2-范数是相容的. 证明 : 因为 根据Hoider不等式可以得到 于是有 例 2 ：设 是向量的范数，则 满足矩阵范数的定义，且 是与向量范 相容的矩阵范数。 证明：首先我们验证此定义满足范数的四条性质。非负性，齐次性与三角不等式易证。现在考虑矩阵范数的相容性。 设 ，那么 因此 的确满足矩阵范数的定义。 最后证明 与 是相容的。 由上面的结论可知 这说明 与 是相容的。 定义：上面所定义的矩阵范数称为由向量范数 所诱导的诱导范数或算子范数。由 向量 P--范数 所诱导的矩阵范数称为矩阵P--范数。即 常用的矩阵P--范数为 ，