北理版矩阵分析课件7 8.ppt

矩阵分析 主讲教师：魏丰 所以 故当 时， 在 上是线性无关的。 定义： 设 是 个定义在区间 上的 有 阶导数的函数向量，记 那么称矩阵 是 的Wronski矩阵。 其中 分别是 的一阶，二阶，…， 阶导数矩阵。 定理： 设 是 的Wronski矩阵。如果在区间 上的某个点 ，常数矩阵 的秩等于 ，则向量 在 上线性无关。 例 ： 设 则 因为 的秩为2，所以 与 线性无关。 函数矩阵在微分方程中的应用 形如 的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后可以表示成如下形式 其中 上述方程组的初始条件为 可以表示成 定理：设 是一个 阶常数矩阵，则微分方程组 满足初始条件 的解为 定理：设 是一个 阶常数矩阵，则微分方程组 满足初始条件 的解为 例 1 ：设 求微分方程组 满足初始条 件 的解。 解：首先计算出矩阵函数 由前面的定理可知微分方程组 满足初始条件 的解为 例 2 ：设 求微分方程组 满足初始 条件 的解。 解：由上述定理可知满足所给初始条件的微分方程组解为 由上面的例题可知 而 所以有 故有 第八章 广义逆矩阵 定理：设 是数域 上一个 矩阵，则矩阵方程 总是有解。如果 ，并且 其中 与 分别是 阶、 阶可逆矩阵，则矩阵方程(1)的一般解(通解)为 (1) (2) 其中 分别是任意 矩阵。 证明：把形如(3)的矩阵以及(2)式代入矩阵方程(1)，得到： (3) 所以形如(3)的每一个矩阵都是矩阵方程(1)的解。 为了说明(3)是矩阵方程(1)的通解，现在任取(1)的一个解 ，则由(1)和(2)得 因为 可逆，所以从上式得 (4) 把矩阵 分块，设 代入(4)式得 即 (5) 由此得出， ，代入(5)式便得出 这证明了矩阵方程(1)得任意一个解都能表示成(3)的形式，所以公式(3)是矩阵方程(1)的通解。 定义：设 是一个 矩阵，矩阵方程 的通解称为 的广义逆矩阵，简称为 的广义逆。我们用记号 表示 的一个广义逆。 定理(非齐次线性方程组的相容性定理)：非齐次线性方程组 有解的充分必要条件是 证明：必要性。设 有解 ，则 。因为 ，所以 充分性。设 ，则取 得 所以 是 的解。 定理(非齐次线性方程组解的结构