反证法高二文科.ppt

2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反 证 法 唐·吉诃德悖论 小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。 一天，有个旅游者回答—— 旅游者：我来这里是要被绞死。 这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。 为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说—— 国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。 * * 推理与证明 推理 证明 合情推理 演绎推理 直接证明 间接证明 类比推理 归纳推理 分析法 综合法 反证法 知识结构 一、复习回顾 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点： 由因导果 执果索因 3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程 综合法 已知条件 结论 分析法 结论 已知条件 （1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只 鸽子在同一只鸽笼，对吗？ （2）将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？ 二、引入思考？ 正难则反! 假设有某种染法使同色的球数都不超过4个，则 球的总数不超过4+4=8，这与球的总数是9矛盾。 因此，假设不成立， 无论怎样染，至少有5个球是同色的 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明 注：反证法是最常见的间接证法 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立）， 经过正确的推理， 最后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的证明方法叫做反证法。 三、基本概念 例1：求证：在个三角形中，至少有一个内角 不小于60° 注：结论中含“至多、至少”形式出现；直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考。 四、例题选讲 分析：从条件出发很难入手去证，可以考虑从反面入手 证明：假设三角开有三个内角∠A 、∠B 、∠C都小于60° 则有∠A+∠B+∠C ＜180°， 这与三角形内角和等于180°相矛盾。 所以假设不成立， 在个三角形中，至少有一个内角不小于60° 例2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。 证：由于a ≠0，因此方程至少有一个根x=b/a， 注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法 ```如果方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1 ≠x2 )是方程的两个根. 课堂练习： 1、证明： 不可能成等差数列 2、△ABC的三边 、 、 的倒数成等差数列， 求证 ∠B ＜90° 1、证明：假设 成等差数列,则有 , 这显然不成立 所以假设不成立， 不可能成等差数列 2、证明：因为 、 、 ，的倒数成等差数列， 所以 ， 假设∠B ≥90°则由∠B是△ABC的最大内角， 有 从而有 所以假设不成立， ∠B ＜90° 。 1、证明时，你是怎么想到反证法的？ 2、反证法中归谬是核心步骤，上题中得 到的逻辑矛盾是什么？ 解题反思： （1）直接证明有困难 正难则反! 小结： 1、哪些命题适宜用反证法加以证明？ （3）否定性命题 （2）唯一性命题 （4）至多，至少型命题 2、常见的逻辑性矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与假设矛盾； （3）与已有定义、公理、定理、事实矛盾。 五、归纳小结： 反证法的证明过程： 否定结论——推出矛盾——肯定结论， 即分三个步骤：反设—归谬—存真 ①假设命题的结论不成立； ③由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立。 ②从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾； 常见逻辑矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与假设矛盾； （3）与已有定义、公理、定