复变函数课件2 31a 1.ppt

复习指数函数的定义和性质 2 对数函数： 对数函数的主值： 例1 例2 例3 对数函数的基本性质 对数函数的解析性质 对数函数的单值化： 沿负实轴的割线的取值情况： 一般区域： 对数函数的单值化： 5 反三角函数和反双曲函数 练习 参考答案 三 、 小结与思考 * * 第三节 初等多值函数 1、根式函数 2、对数函数 4、多个有限支点情形 5、反三角函数与反双曲函数 第二章 下页 返回 上页 3、一般幂函数与指数函数 下页 返回 上页 和实变量一样，复变量的对数函数也定义为指数函数的反函数： 注：由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为2?i的周期函数，所以对数函数必然是多值函数，事实上，有： 下页 返回 上页 下页 返回 上页 相应于幅角函数的主值，我们定义对数函数Lnz的主值lnz为（注意写法）： 则这时，有 下页 返回 上页 三种对数函数的联系与区别： 值域 lnz Lnz lnx 注 定义域 单或多值 函数 单 多 R+ 单 C\{0, ∞} z正实数时为lnx 一个单值分支 为lnz R 条状带域 C C\{0, ∞} 下页 返回 上页 解 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广：正实数的复对数多值；负实数无实对数. 下页 返回 上页 下页 返回 上页 下页 返回 上页 例4 解 下页 返回 上页 × × 下页 返回 上页 下页 返回 上页 v u w-平面 y z-平面 x 对数函数的几何形态 下页 返回 上页 相应与幅角函数的单值化，我们也可以将对数函数单值化： 考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D。显然，在D内，对数函数可以分解为无穷多个单值连续分支。 下页 返回 上页 上沿 下沿 下页 返回 上页 下页 返回 上页 由于对数函数的每个单值连续分支都是解析的，所以我们也将它的连续分支称为解析分支。我们也称对数函数是一个无穷多值解析函数。 原点和无穷远点是对数函数的支点（原点支点, 无穷阶支点）；特点： 1、当z绕它们连续变化一周时，Lnz连续变化到其它值； 2、不论如何沿同一方向变化，永远不会回到同一个值。 下页 返回 上页 反三角函数的定义 两端取对数得 下页 返回 上页 同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式: 反双曲函数的定义 下页 返回 上页 例5 解 下页 返回 上页 × 错在: 下页 返回 上页 复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 分成单值解析分支的方法 2. 负数无对数的结论不再成立 下页 返回 上页