2015届高考数学(二轮复习)专题检测以函数为背景的创新题型.doc

13　以函数为背景的创新题型 1．设D＝{(x，y)|(x－y)(x＋y)≤0}，记“平面区域D夹在直线y＝－1与y＝t(t∈[－1,1])之间的部分的面积”为S，则函数S＝f(t)的图象的大致形状为________． 答案　③ 解析　 如图，平面区域D为阴影部分，当t＝－1时，S＝0，排除④；当t＝－时，SSmax，排除①②. 2．设函数f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f(x)－g(x)|≤k(k0)，则称f(x)与g(x)在[a，b]上是“k度和谐函数”，[a，b]称为“k度密切区间”．设函数f(x)＝ln x与g(x)＝在[，e]上是“e度和谐函数”，则m的取值范围是________． 答案　[－1，e＋1] 解析　设h(x)＝f(x)－g(x)＝ln x－ ＝－m＋＋ln x， h′(x)＝－＋＝， 故当x∈[，1)时，h′(x)0，函数h(x)单调递减； 当x∈[1，e]时，h′(x)≥0，函数h(x)单调递增． 所以函数h(x)的最小值为h(1)＝－m＋1， 而h()＝－m＋e－1，h(e)＝－m＋＋1， 显然e－1＋1， 所以h()h(e)， 故函数h(x)的最大值为h()＝－m＋e－1. 故函数h(x)在[，e]上的值域为[－m＋1，－m＋e－1]． 由题意，得|h(x)|≤e，即－e≤h(x)≤e， 所以解得－1≤m≤1＋e. 3．(2014·苏州模拟)对于函数f(x)，若任意的a，b，c∈R，f(a)，f(b)，f(c)为某一三角形的三边长，则称f(x)为“可构造三角形函数”．已知函数f(x)＝是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是________． 答案　[，2] 解析　因为对任意的实数x1，x2，x3∈R， 都存在以f(x1)，f(x2)，f(x3)为三边长的三角形， 故f(x1)＋f(x2)f(x3)对任意的x1，x2，x3∈R恒成立． 由f(x)＝＝1＋， 设ex＋1＝m(m1)，则原函数可化为f(m)＝1＋(m1)， 当t1时，函数f(m)在(1，＋∞)上单调递减， 所以f(m)∈(1，t)，此时2f(x1)＋f(x2)2t,1f(x3)t，要使f(x1)＋f(x2)f(x3)对任意的x1，x2，x3∈R恒成立， 需t≤2，所以1t≤2； 当t＝1时，f(x)＝1，显然满足题意； 当t1时，函数f(m)在(1，＋∞)上单调递增， 所以y∈(t,1)，此时2tf(x1)＋f(x2)2，tf(x3)1， 要使f(x1)＋f(x2)f(x3)对任意的x1，x2，x3∈R恒成立， 需满足2t≥1，所以≤t1. 综上t∈[，2]． 4．若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称．则称点对[P，Q]是函数y＝f(x)的一对“友好点对”(点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”)．已知函数f(x)＝则此函数的“友好点对”有________对． 答案　2 解析　函数f(x)＝ 的图象及函数f(x)＝－x2－4x(x≤0)的图象关于原点对称的图象如图所示，则A，B两点关于原点的对称点一定在函数f(x)＝－x2－4x(x≤0)的图象上，故函数f(x)的“友好点对”有2对． 5．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0是函数f(x)＝lg x－的零点，则[x0]＝________. 答案　2 解析　∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， ∴函数f′(x)＝＋0， 即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 由f(2)＝ln 2－10，f(e)＝ln e－0， 知x0∈(2，e)，∴[x0]＝2. 6．(2014·辽宁改编)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足： ①f(0)＝f(1)＝0； ②对所有x，y∈[0,1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)||x－y|. 若对所有x，y∈[0,1]，|f(x)－f(y)|k恒成立，则k的最小值为________． 答案　 解析　取y＝0，则|f(x)－f(0)||x－0|，即|f(x)|x， 取y＝1，则|f(x)－f(1)||x－1|， 即|f(x)|(1－x)． ∴|f(x)|＋|f(x)|x＋－x＝， ∴|f(x)|. 不妨取f(x)≥0，则0≤f(x)，0≤f(y)， ∴|f(x)－f(y)|－0＝， 要使|f(x)－f(y)|k恒成立，只需k≥. ∴k的最小值为. 7．设集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M为“垂直双点集”．给出下列四个集合： ①M＝{(x，y)|y＝}；②M＝{(x，y)|y＝sin x