6幂函数与复合函数初步(学生版).doc

第六讲：幂函数与复合函数初步 一 知识要点 1、幂函数概念：一般地，形如的函数都称为幂函数，其中为常数． 备注：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图像都通过点； ?（2）如果，则幂函数的图像通过原点，并且在区间上是增函数； ???（3）如果，则幂函数在区间上是减函数． 2、特殊幂函数的图像和性质：当分别为时，幂函数图像如下图： 备注：幂函数的图像主要分以下7类： （1）当时，图像过点平行于轴，但扣去点的一条“断”直线； （2）当为正偶数时，幂函数为偶函数，图像过第一、二象限及原点； （3）当为正奇数时，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限及原点； （4）当为负偶数时，幂函数为偶函数，图像在第一、而象限，但不过原点； （5）当为负奇数时，幂函数为奇函数，图像在第一、三象限，但不过原点； （6）当为正分数时，设（为互质的正整数） ①如果都为奇数，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限及原点； ②如果为偶数，为奇数，则幂函数为非奇非偶函数，图像在第一象限及过原点； ③如果为奇数，为偶数，则幂函数为偶函数，图像过第一、二象限及原点． （7）当为负分数时，设（为互质的正整数） ①如果都是奇数，幂函数为奇函数，图像在第一、三象限； ②如果为偶数，为奇数，则幂函数的图像只在第一象限； ③如果为奇数，为偶数，则幂函数为偶函数，图像在第一、二象限． 3、复合函数（外函数，内函数为） （1）复合函数求定义域：由外到内； （2）复合函数求值域：由内到外； （3）复合函数单调性：同增异减． （4）求复合函数的单调区间的步骤： ①求定义域：求使函数有意义的自变量的取值范围； ②拆分：将复合函数分解成两个简单的函数：和； ③画图：分析内、外及复合函数的单调性，并画出函数图像； ④结论：根据图像得单调区间． 二 易错警示 已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，求满足的的范围． 三 考的突破 考点一：幂函数的定义 例一：（1）下列函数中是幂函数的是（ ） A．（为非零常数且） B． C． D． ??（2）幂函数的图像过点，则的解析式是 ． ??（3）幂函数的图像经过点，则满足的的值是 ． ??（4）实数满足，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． ??（5）已知幂函数在第一象限内的图像如图所示，且分别取，则相对应于的的值依次为 ． 练习：（1）在下列函数中，是幂函数的有 ． ???（2）已知幂函数的图像经过点，则 ． ???（3）设幂函数的图像经过点，则函数的值域为 ． 考点二：幂函数的图像和性质 例二：（1）函数是幂函数，且当时是减函数，求实数； （2）幂函数是偶函数，且当时是减函数，求整数的值． 练习：已知幂函数为偶函数且在区间上是单调减函数 求函数的解析式； 讨论的奇偶性． 练习：函数在第二象限内单调递增，则的最大负整数解是 ． 练习、（1）已知函数，且，则的取值范围是 ． ? （2）已知函数满足 ①求的值并求出相应的的解析式； ②对于①中得到的函数，试判断是否存在，使函数在区间上的值域为？若存在，求出；若不存在，说明理由． 考点三：复合函数的理解 例三：（1）已知，求 （2）已知函数，若，则实数 ． （3）已知，求和的表达式． 考点四：复合函数的单调性 例四：求下列函数的单调区间： ??（1） （2） （3） ?? （4） 例五：求下列函数的单调区间： ??（1）； （2）； （3）； （4） 练习：（1）已知函数的单调增区间为，求函数的单调区间 ???（2）已知函数，求函数的单调区间． 例六：已知函数，且．试问，是否存在实数，使得在为减函数，并且在为增函数，若有，求出相应的，若无，说明理由． 五 同步演练 演练1、（1）已知函数①，②，③，④，⑤，⑥；其中是幂函数的是 ． （2）幂函数的图像经过点，则 ． ??????（3）若四个幂函数在同一坐标系中的图 像如图，将从小到大排列是 ． 演练2、已知点在幂函数的图像上，点在幂函数的图像上． （1）求函数的解析式； （2）判断函数的单调性并用定义证明； （3）问为何值时有． 演练3、已知函数是幂函数，且当时是减函数． （1）求实数的值； （2）求函数的定义域，判断其奇偶性并证明． 演练4、（1）若是一次函数，且，则 ． ?（2）已知函数在区间是增函数，则函数的递增区间是