【1987-2017】历年考研数学一真题(答案解析).doc

历年考研数学一真题1987-2017 （答案+解析） （经典珍藏版）最近三年+回顾过去 最近三年篇（2015-2017） 2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．设函数在上连续，其二阶导数的图形如右图所示，则曲线在的拐点个数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C） 2．设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则 （A） （B） （C） （D） 【详解】线性微分方程的特征方程为，由特解可知一定是特征方程的一个实根．如果不是特征方程的实根，则对应于的特解的形式应该为，其中应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得，同时是原来方程的一个解，代入可得应该选（A） ３．若级数条件收敛，则依次为级数的 （Ａ）收敛点，收敛点 （Ｂ）收敛点，发散点 (Ｃ）发散点，收敛点 （Ｄ）发散点，发散点 【详解】注意条件级数条件收敛等价于幂级数在处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为，即，所以的收敛半径，绝对收敛域为，显然依次为收敛点、发散点，应该选（B） ４．设D是第一象限中由曲线与直线所围成的平面区域，函数在D上连续，则（ ） （Ａ）（Ｂ）　　　　 （Ｃ）　（Ｄ）　 【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程： 也就是D： 所以，所以应该选（B）． 5．设矩阵，若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件是 （A） （B） （C） （D） 【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换： 方程组无穷解的充分必要条件是，也就是同时成立，当然应该选（D）． 6．设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若，则在下的标准形为 （A） （B） （C） （D） 【详解】， 所以 故选择（A）． 7．若为任意两个随机事件，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【详解】所以故选择（C）． 8．设随机变量不相关，且，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【详解】 故应该选择（D）． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9． 【详解】． 10． ． 【详解】只要注意为奇函数，在对称区间上积分为零， 所以 11．若函数是由方程确定，则 ． 【详解】设，则 且当时，，所以 也就得到 12．设是由平面和三个坐标面围成的空间区域，则 ． 【详解】注意在积分区域内，三个变量具有轮换对称性，也就是 13．阶行列式 ． 【详解】按照第一行展开，得，有 由于，得． 14．设二维随机变量服从正态分布，则 ． 【详解】由于相关系数等于零，所以X，Y都服从正态分布，，且相互独立． 则． 三、解答题 15．（本题满分10分）设函数，在时为等价无穷小，求常数的取值． 【详解】当时，把函数展开到三阶的马克劳林公式，得 由于当时，是等价无穷小，则有， 解得， 16．（本题满分10分） 设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式． 【详解】在点处的切线方程为 令，得 曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积为 整理，得，解方程，得，由于，得 所求曲线方程为 17．（本题满分10分） 设函数，曲线，求在曲线上的最大方向导数． 【详解】显然． 在处的梯度 在处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模 所以此题转化为求函数在条件下的条件极值．用拉格朗日乘子法求解如下： 令 解方程组，得几个可能的极值点， 进行比较，可得，在点或处，方向导数取到最大，为 18．（本题满分10分） （1）设函数都可导，利用导数定义证明； （2）设函数都可导，，写出的求导公式． 【详解】（1）证明：设 由导数的定义和可导与连续的关系 （2） 19．（本题满分10分） 已知曲线L的方程为，起点为，终点为，计算曲线积分． 【详解】曲线L的参数方程为 起点对应，终点为对应． 20．（本