上海海事大学研究生12-13数值分析试A卷答案.doc

上海海事大学2012---2013学年第 2 学期 研究生 数值分析 课程考试试卷A （答案） 学生姓名：　　　　　　 学号：　　　　 专业：　　　　　　　　 填空题（每小格2分共28分） 利用Seidel迭代法求解Ax=b时，其迭代矩阵是； 当系数矩阵A满足 严格对角占优 时，Seidel迭代法收敛 。 x 0 1 已知函数有数据 f 1 9 则其线性Lagrange插值多项式为 插值余项为 求解常微分方程初值问题 的Euler二步法公式为， 它是2 阶方法。 设则差商 3　 0　 5个节点的Newton-Cotes数值求积公式的代数精度至少具有5 次，其最高代数精度为9　　　　 6. 对于非线性方程的Newton迭代法公式为 ，它在方程根附近是 平方 阶收敛的方法。 7. 反幂法是求可逆矩阵按模最小 特征值和特征向量的计算方法． QR法是计算 可逆矩阵的所有 特征值和特征向量的计算方法 8. 二．求在上的一次最佳一致逼近多项式，并估计误差。 （已知） （7分） 解：上不变号，所以二端点为交错点组点。 故： 而 ，所以 所以 误差 用代数精度确定求积公式的求积系数，并指出其具有的代数精度。（7分） 已知，证明求积公式余项为： 解： 具有二次代数精度。 以作Hermite二次插值，得余项 设方程组系数矩阵可逆，其扰动方程组为 证明 ： 当时，有 和 成立 （6分） 解： 由得 故 又， 五．设是关于互异节点的Lagrange插值基函数，试证明： （7分） 解：设的n+1阶导数存在，则有： 当时（）， 所以 六．设方程组Ax=b有唯一解，其等价变形构造的迭代格式为，如矩阵谱半径，但B有一个特征值满足，求证：存在初始向量，使得迭代产生的序列收敛于。 （7分） 证明： 由， 对于B的一个特征值满足，特征向量设为， 故取初始向量，有 ，所以收敛于 七．在[0，2]上具有五阶连续导数，已知，，，试用基函数构造法求Hermite插值多项式，使其满足上列插值条件，并估计误差。（7分） 解：解： ； 插值余项：， ， ,,由得 又=， 八．给定函数函数，对于一切，存在，且， 证明对于范围内的任意定数，迭代过程均收敛于的根。 （7分） 解：，,单调，根存在条件下必唯一。迭代函数 ， 有条件，可得 故： , 所以 所以 九．设， 1. 证明：中矩形求积公式截断误差 2. 又设，试以此构造复合求积公式，并说明该复合求积公式是收敛的。（9分） 解：1. 令f(x)=1,x 等式成立。 ,所以是1阶代数精度 因此：； 故： = 2.又：分划[a,b]2n等分，得：，k=1,2,…n 得复合公式： 所以：= 其中： 有： 初值问题的解为，是由Euler法得出的数值解 证明：整体误差 ,并说明其收敛性。 （7分） 解：对任意固定值x0,取，所以，由Euler法 = 所以， 对任意固定点，的所以收敛。 十一. 对于初值问题，试利用数值积分导出梯形公式，证明公式是具有是二阶精度的。 对于梯形公式求常微分方程数值解时，当试验方程，，为保证数值方法的绝对稳定性，确定其步长的限制范围。 （8分） 解：因为，所以 略去余项得 。 又 当时， 因为，当时， 所以是二阶精度。 因为： 因，所以即 故梯形公式是无条件绝对稳定的。