以二次函数为背景的综合题.doc

以二次函数为背景的综合题 1．如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=﹣x4于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点． （1）求抛物线的表达式； （2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由； （3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值． x2+x．（2）存在．点M的横坐标为：或或．（3）． 【解析】 试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．设点M的横坐标为x，则求出MN=|x2-4x|；解方程|x2-4x|=3，求出x的值，即点M横坐标的值； （3）设水平方向的平移距离为t（0≤t＜3），利用平移性质求出S的表达式：S=-（t-1）2+；当t=1时，s有最大值为． 试题解析：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）． ∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx． ∴，解得， ∴抛物线的表达式为：y=-x2+x． （2）存在． 设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入， 求得k=， ∴直线OD解析式为y=x． 设点M的横坐标为x，则M（x，x），N（x，-x2+x）， ∴MN=|yM-yN|=|x-（-x2+x）|=|x2-4x|． 由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3． ∴|x2-4x|=3． 若x2-4x=3，整理得：4x2-12x-9=0， 解得：x=或x=； 若x2-4x=-3，整理得：4x2-12x+9=0， 解得：x=． ∴存在满足条件的点M，点M的横坐标为：或或． （3）∵C（1，3），D（3，1） ∴易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y=x． 如解答图所示， 设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上． 设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P； 设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q． 设水平方向的平移距离为t（0≤t＜3）， 则图中AF=t，F（1+t，0），Q（1+t，+t），C′（1+t，3-t）． 设直线O′C′的解析式为y=3x+b， 将C′（1+t，3-t）代入得：b=-4t， ∴直线O′C′的解析式为y=3x-4t． ∴E（t，0）． 联立y=3x-4t与y=x，解得x=t， ∴P（t，t）． 过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=t． ∴S=S△OFQ-S△OEP=OF?FQ-OE?PG =（1+t）（+t）-?t?t =-（t-1）2+ 当t=1时，S有最大值为． ∴S的最大值为． 考点：二次函数综合题；平行四边形的判定与性质；坐标与图形变化-平移． 2．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表： 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元 （1）求出y与x的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果. 【答案】（1）y=；（2）该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元． 【解析】 试题分析：（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案； （2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案； （3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案． 试题解析：（1）当1≤x＜50时，y=（200-2x）（x+40-30）=-2x2+180x+2000， 当50≤x≤90时， y=（200-2x）（90-30）=-120x+12000， 综上所述：y=； （2）当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45， 当x=45时，y最大2+180×45+2000=6050， 当50≤x≤90时，y随x的增大而减小， 当x=50时，y最大 综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元； （3）当1≤x＜50时，y=-2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70， 因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天； 当50≤x≤90时，y=-120x+12000≥4800，解得x≤60， 因此利润不低于4800元的天数是50