函数模型及其应用知识点与题型归纳.doc

●高考明方向 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. ★备考知考情 1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题，是高考命题的热点． 2.常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力． 3.选择题、填空题、解答题三种题型都有考查，但以解答题为主. 知识点一 几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数 模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数 模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函 数模型 f(x)＝bax＋c (a，b，c为常数，a＞0，且a≠1) 对数型函 数模型 f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，a＞0，且a≠1) 幂函数型 函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 三种增长型函数之间增长速度的比较1.指数函数y＝ax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)： 在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因而总存在一个x0，当x＞x0时，有ax＞xn. 2．对数函数y＝logax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)： 对数函数y＝logax(a＞1)的增长速度，不论a与n值的大小如何，总会慢于y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，当x＞x0时，有logax＜xn 由1、2可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，当x＞x0时，有ax＞xn＞logax. 问题1　解决实际应用问题的一般步骤是什么？ (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 问题2　在解决实际应用问题时应注意哪些易错的问题？ (1)函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型． (2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． (3)注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性． 二、例题分析： （一）三种函数模型增长速度的比较 例1.《名师一号》P36 对点自测5、6 5.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　) (2)幂函数增长比直线增长更快．(　　) (3)不存在x0，使ax0xlogax0.(　　) (4)f(x)＝x2，g(x)＝2x、h(x)＝log2x，当x(4，＋∞)时，恒有h(x)f(x)g(x)．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 任意 x∈(4，＋∞)， x22x恒成立。 6．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61 A.y＝2x B．y＝log2xC．y＝(x2－1) D．y＝2.61cosx 解析　由表格知当x＝3时，y＝1.59，而A中y＝23＝8，不合要求，B中y＝log23(1,2)接近，C中y＝(32－1)＝4，不合要求，D中y＝2.61cos30，不合要求，故选B. 例1.《名师一号》P36 对点自测1 1.一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的(　　) 解析　由题意知h＝20－5t(0≤t≤4)，故选B. (2014·武汉调研)在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为：Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月生产x台某种产品的收入为R(x)元，成本为C(x)元，且R(x)＝3 000x－20x2，C(x)＝500x＋4 000(xN*)．现已知该公司每月生产该产品不超过100台． (1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x)； (2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差． 　(1)由题意，得x[1,100]，且xN*. P(x)＝R(x)－C(