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实验一行列式
实验一 行列式
实验目的:学习矩阵输入和计算行列式的Matlab命令,并会用Matlab命令和克莱默法则解线性方程组。
Matlab命令:
det(A) 矩阵A对应的行列式的值。
det(D1/A) 相当于
a/b “/”为右除,相当于;
a\b “\”为左除。相当于
syms k 定义符号变量k
sym(‘[a b c;d e f]’) 定义了一个符号矩阵
行列式的计算
例1计算行列式
输入:A=[-1 3 2 ;3 0 -2;-2 1 3];
det(A)
输出:ans =
-11
例2.计算
输入:A=[1 1 -1 -1;1 -1 1 -1 ;1 -1 -1 1;1 1 1 1 ];
det(A)
输出:ans =
16
例3 计算
输入:D=sym(‘[a b;c d]’);
det(D)
输出:ans =
a*d-b*c
例4 计算
M1=sym([a b]);
A=[M1 1;1 2 3;4 5 6]
A =
[ a, b, 1]
[ 1, 2, 3]
[ 4, 5, 6]
det(A)
ans =
-3*a+6*b-3
代数余子式的计算
例3.计算行列式的代数余子式。
输入:
clear all
A=[1 2 1 4;0 -1 2 -2;4 7 2 1;0 2 1 3];
A(:,4)=[];A(2,:)=[];
A24=A;
r=det(A)*(-1)^(2+4)
输出:
r =
3
解方程组和克拉默法则
例4.方程组 。
输入:
clear all
A=[-1 1 2;3 -1 1 ;-1 3 4];b=[2;6;4];
D1=[b,A(:,[2,3])];
D2=[A(:,[1]),b,A(:,[3])];
D3=[A(:,[1,2]),b];
输出:
x1=det(D1/A)
x1 =
1.0000
x2=det(D2/A)
x2 =
-1.0000
x3=det(D3/A)
x3 =
2.0000
另:
输入:
clear all
A=[-1 1 2;3 -1 1 ;-1 3 4];b=[2;6;4];
输出:
x=A\b
x =
1.0000
-1.0000
2.0000
例5.用克拉默法则求解线性方程组
输入:
clear all
A=[2 -1 1 ;3 2 -5 ;1 3 -2 ];
b=[0;17;13];
D1=[b,A(:,[2,3])];
D2=[A(:,[1]),b,A(:,[3])];
D3=[A(:,[1,2]),b];
x1=det(D1/A),x2=det(D2/A),x3=det(D3/A)
输出:
x1 =
2.0000
x2 =
3.0000
x3 =
-1.0000
另:
输入:
clear all
A=[2 -1 1 ;3 2 -5 ;1 3 -2 ];
b=[0;17;13];
输出:
x=inv(A)*b
x =
2.0000
3.0000
-1.0000
实验作业:1.计算行列式
(2)
2解方程组
3用克拉默法则解线性方程组。
4行列式中的元素的代数余子式是多少?
实验案例:过定点的多项式方程的行列式
求通过空间三个点(1,2,3),(3,5,6),(2,2,4)的平面方程。
【模型分析与建立】
已知三个点可以确定一个平面,平面方程为而三个点在这个平面上,所以他们均满足这个平面方程。
【模型求解】
三个点均满足平面方程,因而有。这是一个以为未知量的齐次线性方程组,且不全为0,说明该齐次线性方程组必有非零解,于是系行列式等于零,即,求该平面方程。
【案例拓展】将这一结论推广,对于n次多项式
其系数为
可由其图像上n+1个横坐标互不相同的点
所唯一确定。
因为n+1个点满足这个多项式,则有
这是一个含有n+1个方程,以为n+1个未知量的线性方程组,其系数行列式为
D=
这是一个范德蒙行列式。当互不相同时,,由克拉默法则,可解出唯一的所以n次多项式 可由图像上的n+1个横坐标互不相同的点所唯一确定。
该多项式方程的行列式形式为
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