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导函数综合应用
1.已知函数,(),
(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值
(2)当时,若函数的单调区间,并求其在区间(-∞,-1)上的最大值。
2 (本小题共13分)
设l为曲线C:在点(1,0)处的切线.
(I)求l的方程;
(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方
3.(本小题13分)已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求证:当时,;
(Ⅲ)设实数使得对恒成立,求的最大值.
.Ⅲ)使成立,,等价于,;,
当时,,函数在(0,1)上位增函数,,符合题意;
当时,令,
- 0[来源:Z。xx。k.Com] + 极小值 ,显然不成立,
综上所述可知:的最大值为2.
考点:1.导数的几何意义;2.利用导数研究函数的单调性,证明不等式;3.含参问题讨论.
【名师点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数性质问题,本题第一步为基础,第二、三步属于中等略偏难问题,首先利用导数的几何意义求出切线斜率和切点坐标,写出切线方程,其次用作差法构造函数,利用导数研究函数的单调性,证明不等式,最后一步对参数进行分类讨论研究.
4(本小题13分)
设函数,曲线在点处的切线方程为.
(I)求的值;
(II)求的单调区间.
【考点】导数的应用;运算求解能力
用导数判断函数的单调性时首先应确定函在对函数划分单调区间时除必须确定使导数等于0的点外还要注意定义区间内的间断点.
.已知函数.
()求函数的单调区间;
()若直线与曲线没有公共点,求实数的取值范围.
考点:导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性
答案:()函数在区间为减函数,在区间为增函数()的取值范围为
试题解析:()?
令得
变化情况
所以函数在区间为减函数,在区间为增函数
()直线与曲线没有公共点,等价于
方程无实数解,即无实数解
当时,显然方程无实数解;
当时,方程变形为,
设则?
令得
在区间上,在区间上
所以在区间上单调递减,在区间上单调递增
所以,当时,取得最小值?
要使方程无实根,只需?
解得?
综上的取值范围为
(1)当时,求证:时,;[来源:学_科_网Z_X_X_K]
2)试讨论函数的零点个数.
7.(1)见解析;(2)当时,有两个零点;当时;有且仅有一个零点.
试题解析:(1)当时,令(),则,
当时,,,,此时函数递增,
当时,,当时,………①
(2)………②,令,得,,
(i)当时,,由②得……③
当时,,,,此时,函数为增函数,
时,,,时,,
故函数,在上有且只有一个零点;
(ii)当时,,且,
由②知,当,,,,
此时,;同理可得,当,;当时,;
函数的增区间为和,减区间为
故,当时,,当时,
函数,有且只有一个零点;
又,构造函数,,则
……④,易知,对,,函数,
为减函数,
由,知,……⑤
构造函数(),则,当时,,当
时,,函数的增区间为,减区间为,,
有,则,
,当时,……⑥
而……⑦
由⑥⑦知……⑧
又函数在上递增,
由⑤⑧和函数零点定理知,,使得
综上,当时,函数有两个零点,
综上所述:当时,函数有两个零点,
当时,函数有且仅有一个零点.
8.已知函数在点处的切线与y轴垂直,且, 其中 .
(Ⅰ)求的值,并求出的单调区间;
(Ⅱ)设,确定非负实数 的取值范围,使不等式在上恒成立.
8. 【解】(Ⅰ)对求导,得若在点处的切线与y轴垂直,则,又,则.由,求得
所以,定义域为,对求导,得.由,求得-1x1,即的单调递增区间为(-1,1);
由,求得 ,即的单调递减区间为(1,+∞).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,不等式即是,于是问题可转化为不等式在[0,+∞)上恒成立时,确定非负实数a的取值范围.
记,则.
①当 时,对,则在[0,+∞)上为增函数.
②当 时,令,则,当,即 时,对,,则在[0,+∞)上为增函数.所以,此时命题成立
当,即时,由求得.
的变化情况如下表:
0 - 0 + ↘ 极小值 ↗ 因为,所以当时,命题不成立.
9.已知函数,.
(Ⅰ)若在上的最大值为,求实数的值.
(Ⅱ)若对任意的,都有恒成立,求实数的取值范围.
9.解:(Ⅰ) ,令,得或.
当时,,函数为减函数;
当时,,函数为增函数;
当时,,函数为减函数;
∵, ,∴.
即最大值为,
∴.
(Ⅱ)由,得
∵, ∴,由于不能同时取等号,所以,即.
∴恒成立.
令,,则
当时,,,从而
所以函数在上为增函数,所以
所以.
10.已知函数f(x)=ax﹣2lnx.
(Ⅰ)当a=1时,函数y=x?f(x)有几个极值点?
(Ⅱ)若f(x)0对于x(,e)的解集非空,求实数a的取值范围.
.已知函数f(x)=ax﹣2lnx.
(Ⅰ)当a=1时,函数y=x?f(x)有几个极值点
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