导数证明不等式构造函数法类别(教师版).doc

导数证明不等式构造函数法类别 1、移项法构造函数 已知函数，求证：当时，恒有 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数， 从其导数入手即可证明。 【解】 ∴当时，，即在上为增函数 当时，，即在上为减函数 故函数的单调递增区间为，单调递减区间 于是函数在上的最大值为，因此，当时，， 即 ∴ （右面得证）， 现证左面，令， 当 ， 即在上为减函数，在上为增函数， 故函数在上的最小值为， ∴当时，，即 ∴，综上可知，当 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数 求证：在区间上，函数的图象在函数的 图象的下方； 分析：函数的图象在函数的图象的下方问题，即，只需证明在区间上，恒有成立，设，，考虑到 要证不等式转化变为：当时，，这只要证明： 在区间是增函数即可。 【解】设，即， 则= 当时，= 从而在上为增函数，∴ ∴当时 ，即， 故在区间上，函数的图象在函数的图象的下方。 3、换元法构造函数证明 【例3】（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式 都成立. 分析：本题是山东卷的第（II）问，从所证结构出发，只需令，则问题转化为：当时，恒 有成立，现构造函数，求导即可达到证明。 【解】令，则在上恒正， 所以函数在上单调递增，∴时，恒有 即，∴ 对任意正整数n，取 【警示启迪】当在上单调递增，则时，有．如果＝，要证明当时，，那么，只要令＝－，就可以利用的单调增性来推导．也就是说，在可导的前提下，只要证明０即可． 4、从条件特征入手构造函数证明 【例4】若函数y=在R上可导且满足不等式x－恒成立，且常数a，b满足ab，求证： ab 【解】由已知 x+0 ∴构造函数 ， 则 x+0， 从而在R上为增函数。 ∴ 即 ab 【警示启迪】由条件移项后，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数，求导即可完成证明。若题目中的条件改为，则移项后，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。 5、主元法构造函数 例．（全国）已知函数 求函数的最大值； 设,证明 ：. 证明：对求导,则. 在中以b为主变元构造函数, 设,则. 当时，,因此在内为减函数. 当时,,因此在上为增函数. 从而当时, 有极小值. 因为所以,即 又设.则. 当时,.因此在上为减函数. 因为所以,即. 6、构造二阶导数函数证明导数的单调性 例．已知函数 (1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围; (2)若a=1,求证:x＞0时,f(x)1+x 解：(1)f′(x)＝ aex－ｘ， ∵ｆ（ｘ）在Ｒ上为增函数，∴f′(x)≥０对ｘ∈Ｒ恒成立， 即ａ≥ｘｅ-ｘ对ｘ∈Ｒ恒成立 记ｇ（ｘ）＝ｘｅ-ｘ，则ｇ′(ｘ)＝ｅ-ｘ－ｘｅ-ｘ=(1-x)e-x， 当ｘ＞１时，ｇ′（ｘ）＜０，当ｘ＜１时，ｇ′（ｘ）＞０． 知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上为增函数,在(1,+ ∞)上为减函数, ∴g(x)在x=1时,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a≥1/e, 即a的取值范围是[1/e, + ∞) (2)记F(X)=f(x) －(1+x) = 则F′(x)=ex-1-x, 令h(x)= F′(x)=ex-1-x,则h′(x)=ex-1 当x0时, h′(x)0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上为增函数, 又h(x)在x=0处连续, ∴h(x)h(0)=0 即F′(x)0 ,∴F(x) 在(0,+ ∞)上为增函数,又F(x)在x=0处连续, ∴F(x)F(0)=0,即f(x)1+x． 7.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式） 例：证明当 8.构造形似函数 例：证明当 例：已知m、n都是正整数，且证明： 【思维挑战】 1、设 求证：当时，恒有 2、已知定义在正实数集上的函数 其中a0，且， 求证： 3、已知函数，求证：对任意的正数、，恒有 4、是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足≤0，对任意正数a、b，若a b， 则必有 （ ） （A）af (b)≤bf (a) （B）bf (a)≤af (b) （C）af (a)≤f (b) （D）bf (b)≤f (a) 【答案咨询】 1、提示：，当，时，不难证明 ∴，即在内单调递增，故当时， ，∴当时，恒有 2、提示：设