1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质.pptVIP

* 上页 下页 返回 §1.7 初等函数的连续性及闭区间 上连续函数的性质 一、初等函数的连续性 二、闭区间上连续函数的性质 一、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的； 1. 基本初等函数的连续性 幂函数在其定义域内是连续的. §1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理1 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定理2 定义区间是指包含在定义域内的区间. 如, 这些孤立点的邻域内没有定义. 在其定义域内不一定连续. 初等函数仅在其定义区间内连续, 注 §1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质 初等函数求极限的简便方法 ——代入法 例1 解 §1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质 二、闭区间上连续函数的性质 定义1 . ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( , ), ( 0 0 0 0 值 小 上的最大 在区间 是函数 则称 都有 使得对于任一 如果有 上有定义的函数 对于在区间 I x f x f x f x f x f x f I x I x x f I 3 ￡ ? ? 通常把最大值记作M，把最小值记作m. 例如 §1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得 最大值和最小值． 性质1 （最大最小值定理） 性质1中的条件“闭区间”和“连续性”必不可少 注 M m §1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质 性质2（有界性定理） 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界． 证 开区间 不连续 性质2中的条件“闭区间”和“连续性”必不可少 注 §1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质 设函数 ) ( x f 在闭区间 [ ] b a , 上连续，且 ) ( a f 与 ) ( b f 异号 ( 即 0 ) ( ) ( b f a f ), 那么在开区间 ( ) b a , 内至少有函数 ) ( x f 的一个零 点 , 即至少有一点 x ) ( b a x ，使 0 ) ( = x f . 性质3 零点存在定理 称作根的存在定理． 因此，也可把这个性质 几何意义：如右图 连续曲线弧的端点在x轴两侧则一定会经过x轴至少一次. §1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质 例3 证 由零点存在定理, 至少有一根. 内 在区间 证明方程 , ] 2 , 1 [ ) ( 上连续 在 则 x f 至少有一根. 内 在区间 所以方程 §1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质 例4 证 由零点存在定理, §1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质 性质 4( 介值定理 ) 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 A a f = ) ( 及 B b f = ) ( , 那么，对于 A 与 B 之间的任意一个数 C ，在开区间 设函数 ) ( x f 在闭区间 内至少有一点 ，使得 由零点存在定理, 证 §1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质 * 上页 下页 返回