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§4.2方差
§4.2 方差 随机变量的数学期望是对随机变量取值水平的综合评价, 而随机变量取值的稳定性是判断随机现象性质的另一个十分重要的指标. 例如, 甲, 乙两人同时向目标靶射击10发子弹, 射击效果如图 因为乙的射击点较集中在靶中心附近, 射击的稳定性较好, 所以乙的射击效果好. 本节将引进另一个数字特征—方差, 用它来度量随机变量在均值附近的偏离程度. 一, 方差的定义定义1 设X是一个随机变量, 若E[(X-E(X)]2存在, 则称它为X的方差, 记为 D(X)=E[X-E(X)]2. D(X)=E[X-E(X)]2 注: 方差刻划了随机变量X的取值与数学期望的偏离程度, 它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性.从方差的定义易见:① 若X的取值比较集中, 则方差较小;② 若X的取值比较分散, 则方差较大;③ 若方差D(X)=0. 则随机变量X以概率1取常数值, 此时X也就不是随机变量了. D(X)=E[X-E(X)]2 二, 方差的计算若X是离散型随机变量, 且其概率分布为 由数学期望的性质, 易得计算方差的一个简化公式: D(X)=E(X2)-[E(X)]2 (2.3)证明 因为[X-E(X)]2=X2-2X?E(X)+[E(X)]2, 于是 D[X-E(X)]2=E[X2-2X?E(X)+(E(X))2] =E(X2)-2E(X)?E(X)+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2 例2 设随机变量X具有(0-1)分布, 其分布律为 P{X=0}=1-p, P{X=1}=p.求E(X), D(X).解 E(X)=0?(1-p)+1?p=p. E(X2)=02?(1-p)+12?p=p.故 D(X)=E(X2)-[E(X)]2=p-p2=p(1-p). 例3 设X~P(l), 求E(X),D(X).解 X的分布律为 而 例4 设X~U(a,b), 求E(X),D(X).解 X的概率密度为 例5 设随机变量X服从指数分布, 其概率密度为 解 例6 设随机变量X服从几何分布, 概率函数 P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1,2, …, 其中0p1, 求E(X),D(X).解 记q=1-p 故 例7 设随机变量X,Y的联合分布为在以点(0,1), (1,0), (1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布, 试求随机变量Z=X+Y的期望与方差. 解 如图所示, (X,Y)的联合概率密度为 三, 方差的性质1. 设C为常数, 则D(C)=0;2. 若X是随机变量, 若C是常数, 则 D(CX)=C2D(X); (2.4)3. 设X,Y是两个随机变量, 则D(X?Y)=D(X)+D(Y)?2E[X-E(X)][Y-E(Y)]; (2.5)特别地, 若X,Y相互独立, 则 D(X?Y)=D(X)+D(Y). (2.6) 注: 对n维情形, 有: 若X1,X2, …,Xn相互独立, 则 证 由数学期望的性质, 性质1,2, 显然, 下面证性质3.D(X?Y)=E[(X?Y)-E(X?Y)]2 =E[(X-E(X))?(Y-E(Y))]2 =E[X-E(X)]2+E[Y-E(Y)]2 ?2E[X-E(X)][Y-E(Y)] =D(X)+D(Y)?2E[X-E(X)][Y-E(Y)]. D(X?Y)=D(X)+D(Y)?2E[X-E(X)][Y-E(Y)]上式右端第三项 2E[X-E(X)][Y-E(Y)]=2E[XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)]=2[E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)]=2[E(XY)-E(X)E(Y)].若X,Y相互独立, 于是有E(XY)=E(X)E(Y), 故 D(X?Y)=D(X)+D(Y). 例8 设f(x)=E(X-x)2, x?R, 证明当x=E(X)时, f(x)达到最小值.证 依题 f(x)=E(X-x)2=E(X2)-2xE(X)+x2,两边对x求导数, 有 所以当x=E(X)时, f(x)达到最小值, 最小值为 f(E(X))=E(X-E(X))2=D(X)这个例子又一次说明了数学期望E(X)是随机变量X取值的集中位置, 反映了X的平均值. 由于X1,X2, …,Xn相互独立, 于是 因X=m+sZ, 即得 E(X)=E(m+sZ)=m,D(X)=D(m+sZ)=D(sZ)=s2D(Z)=s2.这就是说,正态分布的两个参数m和s分别就是该分布的数学期望和均方差. 注: 由上一章知道, 若 例11 设活塞的直径(以cm计)X~N(22.4, 0.032), 气缸直径Y~N(22.5, 0.042), X,Y相互独立.
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