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三点共线、四点共面的充要条件
中学生数学 ·2013年3月上 -第461期(高中)
簿
首都师范大学数学科学学院(100048) 卞垭丽
《中学 生数 学 》2o12年 11月 (上 )期 刊登 了 上时 “ 一z + -og,其 中z+ 一1.’’这个
《三 点共 线 、四 点 共 面 的 充 要 条 件 》(以下 简 称 结 论 不 正 确 .这 里 ,作 者 没 有 弄 清 楚 如 何 去 否
文 1)一 文 ,作者 批判 了一 些教 辅 资料 上关 于三 定 一个 “存 在 性 ”的命 题 .命 题 “对 于 空 间上 的 釉
点 共 线 、四点 共 面 充要 条件 的错 误 结 论 ,并 给 任意一 点 0,A、B、P三点共 线 的充 要 条件 是存 茹
出了 自己的 结 论 .2012年 9月 期 的 《中学 生 数 在实数 z,使得 —z + -og,其 中z+3,
理化 (学 研 版 )》刊臀 _『《三 点 共 线 的 向量 表 示 一 1.”的否 定 命 题 应 该 是 “对 于 空 间 上 的任 意
形 式 的妙 用 》(以下 简称 文 2)一 文 ,作 者 给 出 了 一 点 0,A、B、P三点 共线 的充 要 条件 是存 在对
三 点共 线 的 充 要 条 件 ,并 给 出 了 一 些 应 用 实 于满足 一z +3,碡 的实数 z, 都有 z+
例 .这 两 篇 文章 中给 出 的关 于 三 点 共 线 、四点 ≠ 1.”所 以在 这 里 作 者 找 到 一 组 使 得 0 一
共 面 的充 要 条 件 都 有 错 误 ,下 文 针 对 这 两 篇 q-y菌 且 z+ ≠1的例子是不足 以否定
文 章 中 出现 的错 误 进 行 指 正 ,并 给 出恰 当 的 原命题 的.
结 论 . 同时 ,作 者认 为 “在得 到 一 (1一 £) +
一 、 三 点 共线 的充 要条件 £0百后 ,令 z一1一 ,一 £是 不 正确 的.因为 A、
文 1中提 到一些 教辅 资料 上 出现 这样 的结 B、P三 点共线 ,则 由z + 一 (1一 £)
论 :“对 于空 间上 的任 意一 点 0,A 、B、P三 点共 q-to-g不能得 出z一1一£,一 .”上面的表述
线的充要条件是 一z + 碡 ,且 z+y一 中,“当A、B、P三点共线 ,则 由z-o-d;4- 碚 一
1.”作 者 指 出 了上 述 结论 的错 误 ,并 给 出 自己 (1一£) q-£o-g不能得 出-z一1一t,一£.’,的
的结论 :“0是直 线 AB 外 的任 意 一 点 ,A 、B、P 论 断是正确 的 ,但是 由于是存 在实数 z, 使 得
三点共线的充要条件是 一z-o-X+yo-g,且 一 十 碡 且 z+ ≠1成立 ,所 以我们
zq-y一 1.”值得 探讨 的是 ,作 者所 给 出 的结 论 , 只需 要找 到一组 满足 一z + 其 中 z
在 语意 表达 上并不 够 明确 . - q-y===1的实数 .717, 即可 ;而不是 在条件 中给 出
文 2中作 者 给 出了这样 一 个 结 论 :“若 oC 一z + -og,让我们去求 出这里的 z,
— 萌 + -og,其 中 、 ∈R,则 A、B、C三点 值.因此我们在得到 一 (1一 ) +£菌 后 ,
共 线 的充要 条件 是 + 一1.”而这个 结 论 是错 是 可 以令 z一 1一 £,===£的 ,这 里 的 1一 £和 £就
误 的 . 是找 到 的实数 z,.
针 对这两篇文 章 中 出现 的关于 三点 共线 充 文 2中 ,作 者在证 明必 要性 时 ,由
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