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例谈“充要条件”在解题中的作用 沅江一中 彭德芳 “充要条件”有许多用途，活用它可以解决有些无法解决的问题，且对提高解题速度和准确性具有很强的实用性.下面列举实例说明“充要条件”在解题中的功能. 一、1．函数为奇函数的充要条件是的图象关于原点对称； 2．函数为偶函数的充要条件是的图象关于轴对称. 例1.已知函数 (1)求证:函数的图象关于轴对称; (2)设函数,证明：函数的图象关于原点对称. 分析:由上面充要条件得(1)与(2)的证明中满足分别为偶函数与奇函数即可. 证明:(1)显然. 当时, 当时, 函数定义域为,且. 由充要条件得:的图象关于轴对称. (2) 为奇函数,由充要条件得: 函数的图象关于原点对称. 二、函数定义域内的任意x满足恒成立的充要条件是：函数的图象关于直线对称. 例2.设二次函数满足且图象在y轴上的截距为1,在轴截得的线段长为,求的解析式. 解:由充要条件得的图象关于直线对称. 又 故可设 . 三、对于无穷等比数列，的充要条件是：公比应满足. 例3.无穷等比数列各项和等于,各项平方组成的数列的各项和等于,求数列各项和. 解:设数列的公比为,依题意知.由充要条件得: 得由充要条件得:数列各项和为 四、已知; 例4.(高考题)设二次函数-x=0的两个根满足（1）当时,证明:（2）略. 证明: 由等价条件得. 依题意 有成立，于是 五、关于x的方程不同时为零)有解的充要条件是: 例5．求函数的值域. 解:将函数整理成关于x的方程. 由充要条件得: 例6．设的值. 解:变形已知等式得, 由充要条件有:, 六、复数z为实数的充要条件是:. 例7.设是实系数一元二次方程的二根.已知是虚数,且是实数，求的值. 解:为实系数一元二次方程的两个虚根, 由充要条件得. 即为所求的值. 七、两个非零复数满足的充要条件是：其对应的向量 例8.已知的三个顶点A、B、C对应的复数分别是、、，若 证明：是直角三角形. 证明:由反解出 由充要条件得:是直角三角形. 八、两个复数的充要条件是：它们的实部与实部相等，虚部与虚部相等. 例9.若复数的模相等,且求x与y的值. , 由充要条件得, 九、由一点S引不共面的三条射线、、，设，，其中均为锐角，则平面ASB平面BSC的充要条件是cos=(由课本总习题的第三题变形而来). 例10．把长宽各为4与3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，求B和D间的距离. B C E E E E A C D A D 解:如图,二面角B-AC-D是直二角,故有平面BAC平面DAC. 在平面BAC内作BEAC,在平面DAC内作DFAC，则有AE=CF.又 根据充要条件得: 十、以为某园直径端点的充要条件是：其园方程为. 例11.求直线和直线与两坐标轴所围成四边形的外接园方程. 解:因为园内接四边形对角互补,而两坐标轴交成直角,所以两条直线也垂直,从而. 在中令得; 在中令得. 显然AB是园的直径,由上充要条件得:园方程为,即 园方程为 第 6 页 共6页