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第 45卷 第 1期 南 开 大 学 学 报 (自然科学版) VolI45 N_O1 2012年 2月 ActaScientiarum Naturalium UniversitatisNankaiensis Feb．2012 文章编号 ：0465-7942(2012)01—0001—07 Euler方程有限差分方法数值模拟 罗志强 ，陈志敏 (1．南开大学 数学科学学院，天津 300071； 2．昆明理工大学 系统科学与应用数学系，云南 昆明650083) 摘要 ：研究了定义在二维水槽上带非线性 自由面边界条件 的Euler方程 的数值解．通过合适的 坐标变换 对不规则的水槽液体区域变换为一个规则的正方形区域，建立流场变量的差分耦合迭代的算法，运用交错网格 求解了无粘不可压缩的Euler方程的数值解，数值结果表明，与之前结果和解析解 比较数值解较好，对水平激励 和垂直激励下非线性的效果和波拍 的现象非常明显． 关键词 ：Euler方程 ；有 限差分方法 ；交错 网格 ；Crank—Nicolson格式 ；耦合迭代 方法 中图分类号 ：0241 文献标识码 ：A 0 引 言 二维水槽晃动液体的动力学性态一直是流体力学研究的重要内容．早期的研究方法主要是用势流方 程研究受迫晃动液体 的流场速度，自由面高度和水槽壁压力 的动力学性态[1]．Frandsen[2]，Hutton[3]， Faltinsen[，WaterhouseE5]分别研究了二维水槽下的非线性势流方程的解析解 ，Frandsen[等人巧妙建立 了势流方程的数值求解格式，较准确地研究了水槽 自由面的变化高度．近年来，一些流行 的数值计算方法 如有限元方法_l6]，VOF 方法求解 了Euler方程和 Naiver—Stokes方程流场解．Chen_lg采用边界元方法 模拟三维晃动问题．Bangfuh_1 建立有限差分法求解 Euler方程和 Navier—Stokes方程 ，并且成功模拟 出自由面的波高和流场性态． 基于BangfuhChen有限差分思想 ，利用 Euler方程在二维容器数值模拟了自由振动和水平激励下 自 由面的波高值 ，同时给出了数值解和解析解 的误差． 在二维充液水槽 ，假设流体是不可压缩 ，无旋和无粘性的．考虑如 下物理区域图 1，表示静止 自由面到晃动 自由面的波高，水槽壁形状 分别用b，b 和 一d表示并且均为单值 函数 ，d表示水槽底部到静止 自 由面的高度，h表示水槽底部到 自由面的高度． 定义在如图 1的二维水槽 中带 自由面的Euler方程模型 ¨表示为 f1垫十一_， 十一-，塑一一一一 望壶一一五；， -i f1十．面十．面～ g —1 — ．． P Yc’ 图 1 水槽模型 其中 “，分别是z，方向的速度分量 ，fD是水密度 ， 是水平受力加速 Fig．1 Tank model 度 ， 是垂直受力加速度，P是水槽液体压力 ，g是重力加速度． 对于不可压缩流体的连续性方程表示 + 一 o， (2) 收稿 日期 ：201I-03一i0 作者简介：罗志强 (1973一)，男，江西永新人 ，博士． ·2 · 南 开 大 学 学 报 (自然科学版) 第 45卷 和在 自由面运动边界条件 + 一 · (3) 流体静压力表示为