北京师范大学数学模型与数学建模110.pdf

第六章 医学与遗传的数学模型 §6.1 糖尿病的诊断 一. 背景和问题 1. 糖尿病（Diabetes ）：胰岛素相对或绝对不足引起的以糖代谢紊乱，血糖增高为主的慢性疾病。 0 1 . 症状：早期无症状；晚期多尿、多食、多饮，消瘦、无力等临床表现，化验结果血糖、尿 糖指标增高。 0 2 . 危害：易并发感染心脏病、肾病、视网膜病变，引起心肌梗死、中风、肾功能衰竭、白内 障失明等后果。 0 3 . 血糖调节系统 血糖（Blood Glucose ）：血液中的葡萄糖，为体内所有组织和器官的能源。安静、空腹时正 常含量 70 ~ 100 mg / 100ml 。持续血糖过高或过低为病态。 血糖在其自我调节的过程中，受到各种激素（Hormones ）及其代谢物质的影响和控制。其 中有 胰岛素（Insulin ）：由胰脏的 β 细胞分泌的一种蛋白质激素。血糖（BG ）增高时刺激分泌 胰岛素促进组织对葡萄糖的吸收，并将多余的糖变成糖原(Glycogen)存储于肝脏中。 高血糖素（Glucagon ）：由胰脏的α细胞分泌的一种蛋白质激素。血糖降低时刺激其分泌， 抑制肌体对糖的吸收，并增加糖原转化为 G的速度。 肾上腺素（Epinephrin ）肾上腺髓质分泌的激素。属于应急机制的一部分。当 BG 极低时， 加快糖原转化成葡萄糖的速度，抑制分泌胰岛素和细胞吸收葡萄糖，以便很快增加血液中葡萄 糖的浓度。 其它：糖皮质素、甲状腺素、生长激素等。 0 4 . 致病机理：人体自身不能提供足够的胰岛素以消耗体内多余的糖分，致使血糖增高而无法控 制。 0 5 . 诊断（1960 年前制定的诊断）方法：葡萄糖耐量检查GTT （Glucose Tolerance Test ）： 空腹 测血糖G0 ；服用G= 75 克葡萄糖，并于 0.5、1、2 、3 小时测血糖，描出血糖曲线。比较血糖曲 线与标准的偏差 正常人的血糖曲线 糖尿病人的血糖曲线 比较 从复杂的检查结果难以区别正常人与糖尿病患者 2. 问题：如何通过血糖曲线的分析给出一个可靠的解释GTT 检验结果的标准。 1965 年左右，美国明尼苏达大学的 Ackerman 和 Gatewood 博士 建立了如下的模型，用以描 述 GTT 过程中的血糖调节系统，再从这个模型中选择一个参数来区别正常人与糖尿病患者。 二. 建模 1. 假设： 0 1 . 只考虑血糖浓度G和以胰岛素为代表的激素H 的相互作用。 0 2 . 没有外界摄入时，人体内有一个平衡状态G 、H 。 0 0 0 3 . 只考虑血糖和激素浓度在平衡状态G 、H 附近的小偏差。 0 0 2. 简化的血糖调节系统 3. 简化调节机制 肝脏贮存 血糖增高 激素增加 血糖降低 内分泌 组织吸收 肝脏释放 血糖降低 激素减少 血糖升高 内分泌 组织拒绝 4. 模型：设G(t), H(t) 分别表示t 时刻血糖与激素的浓度。则有dG/dt=F (G, H) dH/dt=F (G, H)