广义线性最小二乘问题的一个精确解及其推广.pdf

维普资讯 皿， 最小二采／姥 带 第lO卷 第 l期 应用数学与计算数学学报葫C纪7匙vo№．- 1996年 6月 COA~v1．ON APPL．M-ATH．Aj~E,C0N UT． June．1990 一 ( 广 义 线 性 最 小 二 乘 问题 的一 个 精 确 解 及 其 推 广 刘 晓敏 李 雨春 [)22 (北京航空航天大 学直用数理系) (北京舰空舰天大学动力 系) 摘要 本文在特定的约束条件下．给出了一维线性广义最7--乘问题解的精确表达式． 并对解 的范围进行 了讨论一对n维线性广义最小二乘 问题．给出了求解方法．选代步骤和收 敛 性定理 ． L引 言 广义最小二乘问题是一个经典的优化 问题．它在数据处理、实验和很多科学研究 中 有着广泛的应用 ·它所要解决的问题是选取参数q，i=l，--，n．使函数 ： (nl，·， ，) 在拟合误差平方和最小意义下最优地去逼近一些实验数据 ，)， =1，一，m 通常所讨 论的最小二乘 问题就是假定 方 向上的误差为0，即求下面问题的最优解： ∑((nL1--，n )一 )。 但在实际问题 中，特别是 随着科学技术的不断发展和对 问题精确度要求的提高，上面那 种z方 向上 的误差为。的假定显然不切合实际，也就是说，应考虑在实验 中所得到的这 些实验数据( )在z和 方 向上分别带有误差．因此我们应当同时考虑两个方向z和 的误差．因此形成 丁如下 的广义最小二乘 问题： f f(al ‰ )二：m~n∑ Ⅱlj ，ⅡnI墨)一)十砰 一 ) ‘1． ，‘^1∈ ·= 1 其 中(≈，)是实验数据，h ≥0是权系数，( ，)是 = (a-，… ，n，z)上的点．显然 广义最小二乘 问题 的变量是m十 个，比常义下的晟小二乘问题复杂得多 ．即使当 = (。-，一 ，nn，)是线性的情况，它的广义最小二乘 问题也已转化为非线性最优 问题．对 于广义最小二乘问题，可以使用一些流行的算法，比如高斯一牛顿法．混合GN—BFGS法 等 ·但 由于广义最小二乘问题 的形式所决定，这些算法都是通过复杂的选代求 出问题 的 解，也即不能有精确的表达式． 在这篇文章里，我们引进 了一种新的意义下的广义最小二乘问题．由该 问题结构的 特殊性，对于一维的情况，可 以给出它的解的精确表达式{这点在以上各种意义下是不 行的)，并讨论了解的范围．从而使得科学实验中的数据处理更精确和方便．对于 维的 情况，可 以得到很简便的迭代 公式，并证明了相应 的收敛 性定理． 本 文1994年3月22日收到 维普资讯 碰用数学与计算数学学报 lO卷 2．一维线性广义最小二乘 问题 设 =4 bz，假定得到一纽实验数据 《 “)，要确定系数B和6使得 m ：f(一 )。+。(墨一 )。j ‘= l 最小．这里