6.2二重积分在直角坐标系下的计算.ppt

一、二重积分计算公式 三、利用对称性简化二重积分的计算 * 二重积分在直角坐标系下的计算 二、典型例题 一、二重积分计算公式 三、利用对称性简化二重积分的计算 特点:穿过D内部且垂直于x轴的直线与D的边界相 交不多于两点. 　　应用计算“平行截 面面积为已知的立体 体积”的方法 特点:穿过D内部且垂直于y轴的直线与D的边界相 交不多于两点. Ⅰ Ⅱ Ⅲ 若区域如图， 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 o x y 1 1 例 1 计算 解 解 法一 先对y后对x积分 o y x 例 2 计算 法二 先对x后对y积分 o y x 例3 解 1 2 3 4 5 -2 -1 1 2 3 由于 的原函数不能用初等函数 表示，故不能先对y积分 例4 计算 o y x 1 D 解 注意：在例2中，法1比法2简便，在例4中，由于被积 函数中含有 ，只能先对x积分. 因此，在把二重积分化为二次积分时，选择恰当的积分次序是非常重要的，而要计算二重积分，关键的是要化为二次积分。 原积分= 例5 作出积分域，并改变积分次序： 解 0 2 4 x y 积分区域如图 (2) 解 原式 (3) 解 例6 解 例7 例7 解 两曲线的交点 例8 例9 解 例10 解 曲面围成的空间立体形状如下. 例11 解 例12 解 设这两个圆柱面的方程分别为 所求立体在第一卦限部分 可以看成是一个曲顶柱体, 如图 从而所求立体的体积为 它的底为 使用对称性时应注意 1.积分区域关于坐标轴的对称性. 2.被积函数在积分区域上关于两个坐标变量的奇 偶性. 只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才 能简化.