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算法分析与设计 第四章 回溯法 华中农业大学理学院 2007，9 主要内容: 1）装载问题； 2）批处理作业调度； 3）符号三角形问题 4）n后问题； 5）0-1背包问题； 6）最大团问题； 7）图的m着色问题 8）旅行售货员问题 9）圆排列问题 10）电路板排列问题 11）连续邮资问题 学习要点 理解回溯法的深度优先有哪些信誉好的足球投注网站策略 掌握用回溯法解题的算法框架 1）递归回溯最优子结构性质 2）迭代回溯贪心选择性质 3）子集树算法框架 4）排列树算法框架 引言 回溯法的基本做法是有哪些信誉好的足球投注网站，或是一种组织得井井有条的、能避免不必要有哪些信誉好的足球投注网站的穷举式有哪些信誉好的足球投注网站法。这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。 回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发有哪些信誉好的足球投注网站解空间树。算法有哪些信誉好的足球投注网站至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解：如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的有哪些信誉好的足球投注网站，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略有哪些信誉好的足球投注网站。 5.1 回溯法的算法框架 本节介绍回溯法算法框架的有关问题： 一、问题的解空间 二、回溯法的基本思想 三、递归回溯 四、迭代回溯 五、子集树与排列树 一、问题的解空间 应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的解空间。问题的解空间应至少包含问题的一个(最优)解。 问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式(x1,x2,…,xn)的形式。 显约束：对分量xi的取值限定。 隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。 解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。 注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单，所需表示的状态空间更小（存储量少，有哪些信誉好的足球投注网站方法简单）。 例如，对于有n种可选物品的0-1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成。 二、回溯法的基本思想 回溯法的基本步骤： (1)针对所给问题，定义问题的解空间； (2)确定易于有哪些信誉好的足球投注网站的解空间结构； (3)以深度优先方式有哪些信誉好的足球投注网站解空间，并在有哪些信誉好的足球投注网站过程中用剪枝函数避免无效有哪些信誉好的足球投注网站。 常用剪枝函数： 用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树； 用限界函数剪去得不到最优解的子树。 二、回溯法的基本思想 关于复杂性： 用回溯法解题的一个显著特征是在有哪些信誉好的足球投注网站过程中动态产生问题的解空间。在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径。如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为h(n)，则回溯法所需的计算空间通常为O(h(n))。而显式地存储整个解空间则需要O(2h(n))或O(h(n)!)内存空间。 生成问题状态的基本方法 扩展结点：一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 活结点：一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点 死结点：一个所有儿子已经产生的结点称做死结点 深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽有哪些信誉好的足球投注网站之后，将R重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在） 宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点之前，它一直是扩展结点 生成问题状态的基本方法 回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法。 示例1 0-1背包问题 n=3, C=30, w={16, 15, 15}, v={45, 25, 25} 开始时，Cr=C=30，V=0，A为唯一活结点，也是当前扩展结点 扩展A，先到达B结点 Cr=Cr-w1=14，V=V+v1=45 此时A、B为活结点，B成为当前扩展结点 扩展B，先到达D Crw2，D导致一个不可行解，回溯到B 再扩展B到达E E可行，此时A、B、E是活结点，E成为新的扩展结点 扩展E，先到达J Crw3，J导致一个不可行解，回溯到E 再次扩展E到达K 由于K是叶结点，即得到一个可行解x=(1,0,0)，V=45 K不可扩展，成为死结点，返回到E E没有可扩展结点，成为死结点，返回到B B没有可扩展结点，成为死结点，返回到A 示例1 0-1背包问题 A再次成为扩展结点，扩展A到达C Cr=30，V=0，活结点为A、C，C为当前扩展结点 扩展C，先到达F Cr=Cr-w2=15，V=V+v2=25，此时活结点为A、C、F，F成为当前扩展结点 扩展F，先到达L Cr=Cr-w3=0，V=V+v3=50 L是叶结点，且5045，皆得到一个可行解x=(0,1,1)，V=50 L不可扩展，成为死结点，返回到F 再扩展F到达M M是叶结点，且2550，不是最优解 M不可扩展，成