Dancing Links及其在数独中的应用.pdfVIP

Dancing Links 及其在数独中的应用 Dancing Links 简介 先淡淡的介绍下 Dancing Links,DLX,该算法由大名鼎鼎的 Donald Ervin Knuth 大神 发明，《The Art of Computer Programming》的作者，发明过各种算法 ，YM ，ORZ。 更加详细及牛 B 的介绍请参考 Donald 原版的关于 DLX 的介绍 ，或者 momodi 大神 的 《Dancing Links 在有哪些信誉好的足球投注网站中的应用》，在文末有下载。 回到正题，算法要解决的问题是 0-1 矩阵的完全覆盖问题，而很多问题，诸如数独， 八皇后问题等可以转化为一个 0-1 矩阵的完全覆盖问题，可以直接套用算法模板，DLX 也 是目前解决数独问题的最快方法。 了解 DLX ，首先要了解十字链表，十字链表其实很简单，就是普通循环链表的二维形 式 ，每个节点有4 个指针，上下左右各一个。并且十字链表是循环的。 然后是介绍两种简单的链表操作,这是 DLX 算法的主要作用方法 删除一个节点： right[left[x]]=right[x]; left[right[x]]=left[x]; 恢复一个节点： right[left[x]]=x; left[right[x]]=x; 接着是十字链表的建立,十字链表是 DLX 算法的基础.建立链表,每个点有六个域,上下左 右指针各一个,一个记录改点所在列,一个记录该列还有多少个点。形象化的 ，如下图 那么对于如下的 4x4 矩阵 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 相应地建立链表如下 节点编号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 上指针 0 11 8 12 10 1 2 4 6 3 7 5 9 下指针 0 5 6 9 7 11 8 10 2 12 4 1 3 左指针 4 0 1 2 3 6 5 7 10 8 9 12 11 右指针 1 2 3 4 0 6 5 7 9 10 8 12 11 节点所在列 0 1 2 3 4 1 2 4 2 3 4 1 3 该列节点数 4 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1-4 节点为列头结点 ，0 节点为列头节点的头结点，可以从其左右指针看出,它的范围是 所有的头结点，当其左右指针指向自己时，则说明所有列均被删除，所以 1-4 节点和其左 右指针可以看做列头链表。接下来每个节点对应一个 1 在链表中的信息。 然后是两种对于已经建好的十字链表的两种操作,具体的实现方法参考代码,这里只说作 用过程。 删除一列 remove(c) 首先从列头链表里删除该列，然后从该列列头结点开始，向下遍历链表，每遍历到一个 点，向右遍历，然后将其在其上下链表里删除,并且该列的节点数减 1。 恢复一列 resume(c) 和删除相似地，首先从列头链表里恢复该列，然后从该列列头结点开始，向上遍历链表， 每遍历到一个点，向左遍历，然后将其在其上下链表里恢复,并且该列的节点数加 1。 很简单吧，接下来就是 DLX 的主要过程了，dancing! 算法首先在所有列中找出一个 1 最少的列,然后删除该列,接着从上往下遍历所有节点, 每遍历到一个节点 i,就从 i 向右遍历,删除每个遍历到的节点所在的列,然后递归,如果递归成 功得解,那么返回 1,算法结束,否则从 x 向左遍历,恢复每个遍历到得节点所在的列,最后从 i 向下继续遍历 ，如果遍历完该列发现无解，则说明无法精确覆盖矩阵，返回0。算法的递归 边界是所有列均被删除，算法返回 1。