Du Fort—Frankel格式及DFF—I并行格式的稳定性.pdfVIP

2015年 8月 计 算 数 学 第 37卷第 3期 Aug．，2015 MATHEMATICA NUMERICA SINICA Vo1．37，No．3 DuF0rt．Frankel格式及 DFF—I并行格式 的稳定性 ) 杭旭登 (北京应用物理与计算数学研究所，北京100094) 摘 要 本文对抛物型方程的DuFort—Frankel(DFF)格式以及基于该格式构造的并行差分格式 (DFF— I)进行了稳定性分析．采用矩阵分析方法，证明了DFF格式的无条件 (LR)稳定性，给出了稳定 性系数的最小值的上界估计，结果表明其与网格比有关，从而 DFF格式并非绝对稳定．本文改进 了并行差分格式 (DFF—I)的稳定性分析结果，证明了其增长矩阵的谱半径严格小于 1，从而具有 长时间稳定性．数值算例验证了DFF—I格式具有空间二阶精度，且有很好的稳定性． 关键词：DuFort—Frankel格式；DFF—I并行格式；长时间稳定；无条件稳定；绝对稳定 MR (2000)主题分类：65N12，65Y05 1．引 言 众所周知，三层显式格式DuFort—Frankel(DFF)格式Llj是无条件稳定的差分格式．通常 的分析方法是，对 Fourier分析得到的二阶增长矩阵进行范数的估计 [_4，引，或者采用矩阵方 法进行分析 5【l_本文将对 DFF格式给出更细致的稳定性分析结果，为此首先简单回顾一下相 关的几个稳定性概念．经典的Lax—Richtmyer(LR)稳定性 川 定义如下：设V，乱 是差分格 式分别以初值条件V。，。的两个数值解，记E ：V 一u，如果对于某个范数 I和给定的网 格加密路径，存在与网格加密路径参数 丁()以及初值无关的常数 C 0，成立如下不等式 ￡llC1lI￡。II- 下 T (1．1) 则称差分格式是 LR稳定的，其中h是空间步长，丁是时间步长，C1=C1(T)与时间步长和空 间步长无关，但可以与T和网格比r相关．对线性问题，其等价于差分格式的增长矩阵G满 足 llG”lI C1，VnT T． (1．2) 对于抛物型方程，如果对任意给定的网格比r=丁／。，差分格式都是 LR稳定的，则称该格式 是无条件稳定的．如果稳定性常数 与网格比r无关，则称差分格式是绝对稳定的． 满足 (1．1)的稳定性系数 1不是唯一的，其最小值 (记为C1i)与差分格式的误差密切 相关，C1i越小则精度越好．为简单起见，在本文余下部分用 代替 指代满足条件 (1．1)的最小的正数． 2015年 1月8日收到． )基金项 目： 国家 自然科学基金 11001023)，中国工程物理研究院科学技术发展基金 (2014A0202009)资助项 目． 274 计 算 数 学 2015仨 如果对于确定的时间空间步长 丁，h差分格式满足 llII c211~。ll，n=1，2，3， (1．3) 其中c2=C2(丁，h)可以和丁，相关，但与佗无关，则称这个差分格式是长时间稳定的．长时间 稳定的差分格式对于确定的时间空间步长计算任意多个时间步都不会出现数值溢出的问题． 一 般来说，差分格式满足长时间稳定性时不一定满足LR稳定性，即对于固定的时间空间步长 有界，但在时间空间步长趋于零时可能趋于无穷．反之，由于差分格式的LR稳定性条件 (1