Householder矩阵和Householder变换.pdfVIP

Householder 矩阵和 Householder 变换 设u 为n 维列向量， u 1 ，称H I =−2uu H 为 Householder 矩阵。 2 Householder 矩阵是这样得到的：设u ∈Cn ， u 1 ，H I =−σuu H ，σ ≠0 ， 2 我们希望H 为 Hermite 酉矩阵，于是σ ∈R ， H 2 H 2 H H 2 H H (I −σuu ) I =−2σuu +σ uu (uu ) I =+(σ u u −2σ)uu 2 ，σ ≠0 ，σ 2 。 σ −2σ 0 Householder 矩阵为 Hermite 酉矩阵。根据之前的结果，有 H H H −1 2 H H I −2uu 1=−2u u 1=−2 =−1 ， I − uu =− uu =− uu ( 2 ) 1 1 2 1 设x ∈Cn ，H 为n 阶 Householder 矩阵，称y Hx 为x 的Householder 变换。 如果x 可以经过 Householder 变换得到y ，即存在 Householder 矩阵H ，使得 y Hx H y ，则x H y Hy ，也就是说 也可以经过 Householder 变换得到x 。 关于 Householder 矩阵，我们也说两句。 任何一个列向量可以通过 Householder 变换得到自身。事实上，∀x ∈Cn ，存 在u ∈Cn ， u 1，使得u H x 0 ，这样， 2 I − uuH x x =− u uH x x =− uH x u x =− ⋅ ⋅u x ( 2 ) 2 ( ) 2( ) 2 0 如果x 可以经过 Householder 变换得到y ，根据2 −范数的酉不变性，我们有 x 2 y 2 。因此，若能经过Householder 变换，使得x 变为y ，则必有 x 2 y 2 。 但仅仅有 x 2 y 2 ，是否就意味着x 和y 可以通过 Householder 变换从一个变为 另外一个呢？答案是否定的。事实上，我们有 定理 3 设x , y 均为n 维列向量，则存在Householder矩阵H 使得y Hx ，当且 仅当 x 2 y 2 且y H x 为实数。 证明： 1 必要性 如果x y ，根据之前的结果，必然存在Householder 矩阵H ，使得y Hx 。 而 x 2 y 2 ，y H x xH x =∈R 均成立。 如果x ≠y ，假设存在 Householder 矩阵H I =−2uu H ，u 2 1，使得y Hx 。 由2 −范数的酉不变性，有 x 2 y 2 。y Hx (I −2uu H )x x