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第2章 简单数学模型介绍 西华大学数学与计算机学院 数学建模课件·竞赛培训 第三讲 3.1 建模示例一:稳定的椅子 3.2 建模示例二:商人过河 3.3 建模示例三:预报人口增长 第3讲 简单数学模型介绍 3.1 建模示例一:稳定的椅子 椅子能在不平的地面上放稳吗？ 一、问题提出 二、模型假设与符号说明 1. 模型假设 (1).四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形; (2).地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地 (3).地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。 2. 符号说明 ? — 对角线与x轴的夹角 f(?) — A,C 两脚与地面距离之和 g(?) — B,D 两脚与地面距离之和 三、模型建立与求解 1. 问题分析 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来。 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性 用?(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 x B A D C O D′ C ′ B ′ A ′ ? 正方形ABCD 绕O点旋转 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是?的函数 四个距离(四只脚) 两个距离 正方形对称性 x B A D C O D′ C ′ B ′ A ′ A,C 两脚与地面距离之和 ~ f(?) B,D 两脚与地面距离之和 ~ g(?) ? 用数学语言把椅子位置和四 只脚着地的关系表示出来 f(?) , g(?)是连续函数 对任意?, f(?), g(?)至少一个为0 地面为连续曲面 椅子在任意位置至少三只脚着地 数学问题 已知： f(?) , g(?)是连续函数 ; 对任意?， f(?) ? g(?)=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在?0，使f(?0) = g(?0) = 0. 2. 模型建立 3. 模型求解 给出一种简单、粗糙的证明方法 将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(?/2)=0 , g(?/2)0. 令h(?)= f(?)–g(?), 则h(0)0和h(?/2)0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在?0 , 使h(?0)=0, 即f(?0) = g(?0) . 因为f(?) ? g(?)=0, 所以f(?0) = g(?0) = 0. 四、模型的评价 五、模型的推广和应用 六、参考文献 （优点与缺点） （四脚呈长方形的椅子如何？） （略） 3.2 建模示例二:商人过河 一、问题提出 问题(智力游戏) 随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货. ? ? ? 3名商人 ? ? ? 3名随从 河 小船(至多2人) 但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河? 二、假设与符号说明 xk~第k次渡河前此岸的商人数 yk~第k次渡河前此岸的随从数 1. 模型假设 sk=(xk , yk)~第k次渡河前此岸的商人数与随从数 2. 符号说明 (1)设商人事先知道随从的密谋 (2)设商人不能赶在随从 (3)过河方案只能由商人决定 这是多步决策过程 决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河. uk~第k次渡船上的商人数 vk~第k次渡船上的随从数 dk=(uk , vk)~第k次渡河时船上的商人数与随从数 三、模型建立与求解 1. 问题分析 xk~第k次渡河前此岸的商人数 yk~第k次渡河前此岸的随从数 xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,? ? sk=(xk , yk)~过程的状态 S={(x , y)? x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2} S ~ 允许状态集合 uk~第k次渡船上的商人数 vk~第k次渡船上的随从数 dk=(uk , vk)~决策 D={(u , v)? u+v=1, 2} ~允许决策集合 uk, vk=0,1,2; k=1,2,? ? sk+1=sk dk +(-1)k 则状态转移律 2. 模型建立 多步决策问题 求dk?D(k=1,2, ?n), 使sk?S, 并按转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0). sk+1=sk dk +(-1)k 由以上分析得：该问题的数学模型为 S={(x , y)? x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2} D={(u , v)? u+v=1, 2} sk=(xk , yk), dk=(uk