06万有引力定律(教案).doc

六 万有引力和天体运动 开普勒行星定律 第一定律——轨道定律 所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于所有椭圆的一个焦点上。 因此地球公转时有近日点和远日点 第二定律——面积定律 太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 因此行星的公转速率是不均匀的，在近日点最快，在远日点最慢。 第三定律——周期定律 所有行星椭圆轨道的半长轴R的三次方与公转周期T的平方的比值都相等。 ＝k k是与行星无关，而与太阳有关的量。 若公转轨道为圆，那么R就是指半径。 第三定律针对的是绕同一中心天体运动的各星体，若中心天体不同，不能死套周期定律： 例如比较地球和火星，就有＝＝k k是一个与中心天体太阳有关的常数，与行星无关。 例如比较月球和人造卫星，就有＝＝k ′ k ′是一个与中心天体地球相关的常数，与卫星无关。 例如行星的卫星并非主要绕太阳运动，不能直接和行星比较，即≠ 已知日地距离为1.5亿千米，火星公转周期为1.88年，据此可推算得火星到太阳的距离约为 A. 1.2亿千米 B. 2.3亿千米 C. 4.6亿千米 D. 6.9亿千米 解：B 万有引力定律 基本概念 表述：自然界中任何两个物体都是相互吸引的——引力普遍存在；F万∝ 公式： F万＝G 其中G称为引力常量，适用于任何物体，由卡文迪许首先测出。它在数值上等于两个质量都是1kg的质点相距1m时的相互作用力：G＝6.67×10－11N·m2/kg2。 定律的适用范围： ① 定律只适用于质点间的相互作用，公式中的R是所研究的两质点间的距离。 ② 定律还可用于两均匀球体间的相互作用，公式中的R是两球心间的距离。 ③ 定律还可用于一均匀球体和球体外另一质点间的相互作用，公式中的R是球心与质点间的距离。 已知月球中心到地球中心的距离约是地球半径的60倍，两者质量之比M月∶M地＝1∶81。问由地球飞往月球的飞船距月球中心多远时，地球与月球对飞船的万有引力的合力恰好为零？ 解：设飞船质量为m，所求距离为d，据平衡条件有 G＝G 解得d＝6 R地 万有引力和重力 地面上物体的重力mg是地球对该物体的万有引力的一个分力。 随着纬度的升高，物体所需向心力减小，物体的重力逐渐增大。 事实上，地球表面的物体受到的万有引力和重力十分接近。 例如，在赤道上的一个质量为1kg的物体，用F万＝G计算出来的万有引力是9.830N，用F向＝m R计算出来的的向心力是0.034N，那么物体受到的重力是mg＝F万－F向＝9.796N。因此 在地面及附近，可认为 mg＝G 那么重力加速度g＝G——黄金代换 已知地球的半径约为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T。又知月球的公转可看做匀速圆周运动，试用上述物理量表达出地月距离L（L远大于R）。 解：L远大于R，可将地球和月球视为质点，由万有引力定律和牛顿第二定律有 G＝m月L ① 在地球表面，有 m物g＝G ② 联立①、②式解得 L＝ 地球表面附近高度为h（h＜＜ R）的地方，仍可视为重力等于万有引力： mg ′＝G 故距地面高度为h的地方，重力加速度g ′＝＝g 可见，随高度的增大，重力加速度迅速减小。 在地球某处海平面上测得物体自由下落高度h时所经历的时间为tΔt。已知地球半径为R，试用上述各量表达山的高度H。 解：设地面的重力加速度为g，据直线运动规律有g＝ 设高山顶上的重力加速度为g′，同理有g′＝ 则＝ ()2 ① 在地面附近，可认为重力等于万有引力，有 mg＝G mg′＝G 则＝ ()2 ② 联立①②式得＝ 解得H＝R 利用万有引力定律测量天体质量和密度 以天体表面的物体为研究对象 得M＝；而V＝πR3 ，则ρ＝＝ 已知地球表面的重力加速度为9.8m/s2，地球半径为6.4×103km，引力常量为6.67×10－11N·m2/kg2。（1）试估算地球的平均密度。（2）已知地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%，试估算地核的平均密度。 解：设地面上有一质量为m的物体，它所受到的地球引力近似等于它的重力： mg＝G 得 M地＝ ρ地＝＝＝ kg/m3＝5.48×103kg/m3 ρ核＝＝ρ地＝11.6×103kg/m3 宇航员在地球表面以一定的初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过5t的时间后小球才落回原处（地球重力加速度取g＝10m