2007年天津卷高考理科数学试题.doc

2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.是虚数单位， A. B. C. D. 2.设变量、满足约束条件，则目标函数的最大值为 A.4 B.11 C.12 D.14 3.“”是“”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设双曲线，的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为 A. B. C. D. 5.函数的反函数是 A. B. C. D. 6.设，为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是 A.若，与所成的角相等，则 B.若，，，则 C.若，，，则 D.若，，，则 7.在上定义的函数是偶函数，且，若在区间，上是减函数，则 A.在区间，上是增函数，在区间，上是增函数 B.在区间，上是增函数，在区间，上是减函数 C.在区间，上是减函数，在区间，上是增函数 D.在区间，上是减函数，在区间，上是减函数 8.设等差数列的公差不为，．若是与的等比中项，则 A.2 B.4 C.6 D.8 9.设，，均为正数，且，，，则 A. B. C. D. 10.设两个向量，和，，其中，，为实数．若，则的取值范围是 A.， B.， C.， D.， 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上． 11.若的二项展开式中的系数为，则________（用数字作答）． 12.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为______________． 13.设等差数列的公差是2，前项的和为，则__________. 14.已知两圆和相交于，两点，则直线的方程是_____________． 15.如图，在中，，，，是边上一点，，则______________． 16.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有______种（用数字作答）． 三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数，． ⑴求函数的最小正周期； ⑵求函数在区间，上的最小值和最大值． 18．（本小题满分12分） 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． ⑴求取出的4个球均为黑球的概率； ⑵求取出的4个球中恰有1个红球的概率； ⑶设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，底面，，，，，是的中点． ⑴证明； ⑵证明平面； ⑶求二面角的大小． 20．（本小题满分12分） 已知函数，其中． ⑴当时，求曲线在点，处的切线方程； ⑵当时，求函数的单调区间与极值． 21．（本小题满分14分） 在数列中，，，其中． ⑴证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； ⑵求数列的前项和； ⑶证明存在，使得对任意均成立． ⑴ 因此数列是以为首项、以为公差的等差数列， 从而数列的通项公式为. ⑵ 令（*） ①当时，，从而 ②当时，在（*）式两边同乘以，得 两式相减，得 所以， 综上所述， ⑶通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明： ， 由知，故只需证明即可. 而 ， 从而结论成立.即存在使得对任意均成立. 22．（本小题满分14分） 设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为． ⑴证明； ⑵设，为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．