中国矿业大学(徐州)09级大一上学期数学分析期末试题(A卷)及答案.doc

中国矿业大学09～10学年第1学期 《 数学分析(1) 》试卷(A) 考试时间：120分钟 考试方式：闭卷 学院 理学院 班级__ _ _______姓名___ _______学号__________ 题号 一 二 三 总分 得分 一、叙述题(每题5分共20分) 1．叙述在区间上有上确界的定义。 2．叙述的定义，并叙述不是无穷大的定义。 3. 叙述闭区间上连续函数的介值性定理。 4. 叙述导数极限定理。 二、计算题（每题5分共20分） 1． 设（），求。 2．求曲线在对应点的切线方程。 3．求。 4．求的极值。 三、证明题（每题10分共60分） 1．设，证明数列收敛。 2. 设在连续，且，。证明在上一致连续。 3. 设，而，证明 。 4. 设 （1）求导函数； （2）证明在点不连续； （3）证明在点邻，其中。在具有二阶导数，且，证明对内任意个点有不等式 其中 参考答案 一、叙述题(每题5分共20分) （略） 二、计算题（每题5分共20分） 1． 设（），求。 解 取满足，由知，，当时， 从而 上式两边取极限并利用结论(为常数)和迫敛性得。 2．求曲线在对应点的切线方程。 解 因为 ， 所以当时，；。 那么切线方程为 即 或 当时，，故切线方程是 3．求。 解 。 或 或 4．求的极值。 解 ，得稳定点 0 + 0 + 0 － ↗ 无极值 ↗ 极大值 ↘ ，得稳定点， ，所以在不取极值。 ，所以在取极大值。 三、证明题（每题10分共60分） 1．设 ，证明数列收敛。 证 显然递增，下证有上界。事实上， 。 于是由单调有界定理，收敛。 或 由Cauchy准则，易知收敛。 2. 设在连续，且，都存在。证明在上一致连续。 证 因为存在，由Cauchy准则可知，，，当时，有 。 (1) 又由存在，，当时，有 。 (2) 另一方面在上连续，所以在一致连续。于是即对上述，，当，且就有 。 (3) 这样，当，且时， (i) 若，由(1)式，； (ii) 若，由(2)式，； (iii) 若或，则 由(3)式，。 根据定义，即得在上一致连续。 或 承上，在都是一致连续的，由书上例题结论 在上一致连续。 3. 设，而，证明 。 证 由，，当时，有 由，对上面，，当时，有 综上，，，当，有 即 4. 设 （1）求导函数； （2）证明在点不连续； （3）证明在点邻 (1) (2) 因为，而 不存在（理由见后），易知(用反证法)不存在。所以在点不连续； 事实上，取 由归结原则不存在。 (3) 的任何邻域都不能保持相同符号事实上，对一切正整数有 而。故在的任何邻域内都不单调。，其中。设，则在上满足Lagrange中值定理的条件，于是，使得 因为，所以 从而 。在具有二阶导数，且，证明对内任意个点有不等式 其中。 证 记，由Taylor展开 上式两边乘再求和 注意到 ， 于是 第12页，共6页