中国矿业大学(徐州)理学院,2010级2011,12月份大二上学期,数学分析复习题(简)2011.doc

数学分析（3）复习题 一、 多元函数的极限、连续、微分学 1．讨论二元函数 在点的二重极限、二次极限、偏导数及沿任意方向的方向导数。 （注：如果存在，把它求出来；如果不存在，要说明理由。）参见P95例4等 2．证明: 在点(0,0) 处连续且偏导数存在， 但不可微 。 3．证明函数 在点连续且偏导数存在，但偏导数在不连续，而在可微． 参见：P117习题7 4．设，其中为可微函数，求． 参见：P123习题1 5．设可微，在极坐标变换下，求 的表达式。参见：P120例2 6．设函数在点处可微，且 ，求． 7．设，求在点的梯度及沿方向 的方向导数． 8．利用二元函数的泰勒公式证明: 和有, . 进一步证明下面的Yong’s不等式: 若, 则对有. 提示: 对函数在点展开为一阶泰勒公式,再利用雅可比矩阵的半负定性. 最后取即可. 9．求函数的极值点和极植. 提示: 见课件;类似于教材P138例6; 利用极植的必要条件和充分条件. 10．求二元函数在直线,轴和轴所围成的闭区域上的最大值和最小值. 提示: 先求在区域内的驻点,再求函数在直线上的最值点,最后比较. 11．在平面上求一点,使它到三直线,及的距离平方和最小. 提示: 见教材P141习题 11. 二、隐函数定理及应用 1．已知：，求和 提示：利用隐式方程求导法。答案：，。 2．设具有连续偏导数，已知，求。 提示：利用一阶全微分形式的不变性。答案：。 3．设函数由方程组所确定，求 和。 （见教材P158习题 6） 4．已知：，求和。（见教材P158习题 2（3）） 5．求球面与锥面所截出的曲线的点处的切线和法平面方程。（见教材P161例 2） 6. 求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程。 7．教材P163 习题 9 8．求旋转抛物面与平面之间的最短距离。 提示：点到平面的距离公式，求在约束条件下的极值。 答案：， 9．在过点的所有平面中，求出与三个坐标平面围成立体体积最小的平面。 提示：设平面方程，则体积，求的极值可转化为求 的极值 答案： 三、含参量积分、重积分及其应用 1．设，求和。 答案：，解题过程中要说明依据。 2．求，见教材P178例4 3．计算，是所围闭区域。 提示：考虑积分次序。答案：2 4．计算二次积分 提示：画出积分区域，转化为二重积分，交换积分次序。答案： 5．计算积分。（交换积分次序） 6．， 提示：用直线将分成两部分去绝对值。答案： 7．教材P236 例2 8．计算， 提示：用极坐标， 答案： 9．计算，其中。（用极坐标计算） 10．计算积分，其中是所围成。 提示：用直角坐标或柱坐标，先沿着轴方向穿针。 11．计算，是与所围闭区域。 提示：用直角坐标，先二后一最简单。 也可用其它方法，如用柱坐标： 12．计算，，所围 提示：积分区域是球形区域的一部分，宜采用球坐标。答案： 13．教材P250例5。 14．求球体与公共部分的体积。[参见课件] 15．教材P253例1 16．设是由曲线绕轴旋转一周形成的旋转体，质量均 匀，求其重心。[参见课件] 17．求半径为的均匀半圆薄片对其径的转动惯量。[参见课件] 四、曲线积分 1．，为在第四象限部分 要求按三种方法做：答案：4 [方法1] 直角坐标系， [方法2] 参数方程， [方法3] 极坐标， 2．，为点到点的直线段 提示：写出直线的参数方程 ， 然后代公式计算。答案： 3．计算球面上的边界曲线的形心坐标（）。 提示：由对称性。答案： 4．，是沿和所围封闭曲线正向。 提示：画草图如下， （可选作参数） 或用Green公式（试一下答案是否一样） 答案： 5．力场，问质点从原点沿直线移到曲面的第一卦限部 分上哪一点做的功最大，并求最大功。 提示：设是椭球面上一点，从原点沿直线移到点所作的功为 ， 求得，然后再根据约束条件用Lagrange乘数法求极值 答案： 6．计算， 其中，为椭圆，为的外法线向量 [方法1] 记，外法线向量为，单位外法线向量（仍记为）， ，（用方向导数公式） 把写成参数方程， 直接计算一型曲线积分得答案： [方法2] 设，切向量 （注意，这里应取为逆时针方向，想一想为什么？） 用Green公式 (当然也可直接计算这个二型曲线积分) 椭圆面积。 7．设为球面和平面的交线，从轴正向看去， 是沿逆时针方向的。试计算二型曲线积分 提示：关键是写出的参数方程。把代入得 ，把左边二次型化标准形（不唯一）比如 ，得 取，得曲线参数方程为 答案：。请你用另一种坐标变换化标准形再做一次。 五、曲面积分 1．求椭圆柱面位于xo