大学数学竞赛第一单元函数、极限、连续.pptVIP

第一单元　函数、极限、连续 1.1 函数 解 f[f(x)] = 1. 解 原式 解 所以 k－1=1990, 即 k = 1991; 解 二、 计算题 1. 求下列极限 解 于是 则2c=1， e2c=e, 即 解 例3 求 注：2009年全国决赛试题有类似题目 六、求分段函数的极限 例1 求 解 七、用导数定义求极限 解 由题设可知 于是 解 原式 令 于是 原式= →0(n→∞) 所以原式= 八、用定积分定义求极限 公式： (函数f(x)连续) 例1 求 分析 如果还想用夹逼定理中方法来考虑 而 由此可见，无法再用夹逼定理， 因此我们改用定积分定义来考虑。 解 例2 求 解 因为 而 夹逼定理 例3 求 解 原式= 数列极限普通方法难有成效时，可考虑转化为定积分 九、求极限的反问题 解 由题设可知 1+a+b=0 再对极限用洛必达法则 因此 例1 设 ，求a和b. 解 先用冪指函数处理方法 再用导数定义 取 于是 因此 所以 再由 则 例3 设函数 当x→0时的极限存在,求a的值 . 解 例4 设函数 为了使函数f(x)在x=1处连续且可导, a, b应取什么值？ 解 因为 所以要使函数在x=1处连续, 必须a+b=1. 又因为当a+b=1时 所以要使函数在x=1处可导, 必须a=2, 此时b=?1. 十. 曲线的渐近线 1. 水平渐近线 若 则曲线 有水平渐近线 若 则曲线 有垂直渐近线 2. 垂直渐近线 3. 斜渐近线 斜渐近线 若 例1 曲线 渐近线的条数为 解 曲线有渐近线x=0, y=0 , y=x. (A)0 . (B)1 . (C)2 . (D)3 . 故正确答案为 D . 1.3 连续 1、讨论具体函数或抽象函数的连续与间断。包括由连续性确定其中的参数，证明函数的连续性. 2、由函数的连续性讨论它的某些特性，如有界、零点、介值等. 一、 问题分类： 二、 填空题 三、 计算及证明 1.4 综合习题讲解 一、 填空题 解 可得 所以 a = 2. 解 所以 所以 理学院 上一页 下一页 上一页 下一页 一、有关函数的四种性质 (奇偶性、单调性、周期性、有界性) 例1 求 解 是奇函数， 是奇函数， 因此 是奇函数。 于是 解 (B)不成立，反例 (C)不成立，反例 (D)不成立，反例 (A)成立。 A 证明 为奇函数， 二、有关复合函数 解 即 分析 函数D(x)的函数值是有理数1或0， 所以 1 解 令 则 因此 于是 所以 1.2 极限 一、数列与函数极限的存在准则 (1)夹逼准则； (2)单调有界收敛准则 分析 给定数列的奇数项子列单调增加有上界，偶数项子列单调减少有下界，因此两子列均收敛 . 对于这种数列仍可应用单调有界准则. 解 首先易见 又计算可得 所以两子列均收敛，然后由递推式 两端取极限得 由此得到 解 因为 二、幂指函数 的极限 解 令 则 因此根据命题1.4可得 故原式=1. 三、用洛必达法则与泰勒展开式计算极限 应用洛必达法则之前应注意: (2)通过分解、变量的等价替换、析出可成为 常数的变量等整理和化简,以便于计算导数; (3)可重复上述步骤. 应用泰勒展开式时需注意分子与分母展开的阶数 为各自主部的阶数. 例1 设函数f(x)有连续的二阶导数，且 解 因 因此利用命题1.3的结论有 解 用sin6x的泰勒展开式, 知应选： C . C 注 由于f(x)无可微条件, 此题不能用洛必达法则 . 例3 求 解 例4 求 解 原式= 解 原式= (应用洛必达法则) (应用洛必达法则) (用积分中值定理: ξ在0和x之间 ) 四、无穷小、无穷大量阶的比较 (1) 当正整数n→∞时,以下各无穷大数列的阶由低 到高排列为: (2) 当实数x →+∞时，以下各无穷大量的阶由低 到高排列为： (3) 当x→0时，下列各无穷小量 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 例1 设当x→0时(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比 高阶的无穷小，则正整数n 等于( ) B 例2 设 则当x→0时， 是 的 ( ). (A) 高阶无穷小 (B)