奥数基础讲座_二次函数(含解答).docVIP

二次函数讲座 内容讲解 1．二次函数y=ax2，y=a（x-h）2，2+k，y=ax2+bax2 y=（ax-h） 2 y=a（x-h） 2+k y=ax2+bx+c 顶点坐标 （0，0） （h，0） （h，k） （-，） 对称轴 x=0 x=h x=h x=- 当h0时，y=a（x-h）2的ax2向右）2+kax2向右）2+x2向左平行移动│h│个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x-h）2+ax2向2+k的图象；因此，研究抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x-h）2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便． 2．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象；当a0时，开口向上，当a0时开口向下，对称轴是直线x=-，顶点坐标是（-，）． 3．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），若a0，当x≤-时，y随x的增大而减小；当x≥-时，y随x的增大而增大．若a0，当x≤-时，y随x的增大而增大；当x≥-时，y随x的增大而减小． 4．抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点： （1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）； （2）当△=b2-4ac0，图象与x轴交于两点A（x1，0）和B（x2，0），其中的x1，x22+bx+c=0（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=│x1-x2│=． 当△=0，图象与x轴只有一个交点； 当△0，图象与x轴没有交点．当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数，都有y0；当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0． 5．用待定系数法求二次函数的解析式 （1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c（a≠0）． （2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）． （3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）． 6．二次函数知识很容易与其他知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目．因此，以二次函数知识为主的综合性题目是热点考题，往往以大题形式出现． 例题剖析 例1 （2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题）作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2-1，则抛物线A所对应的函数表达式是（ ） （A）y=-2（x+3）22+2; （C）y=-2（x-1）2-2; （D）y=-2（x-1）2+2 分析：将抛物线C再变回到抛物线A：即将抛物线y=2（x+1）2-1向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线y=2（x-1）2-2，而抛物线y=2（x-1）2-2关于x轴对称的抛物线是y=-2（x-1）2+2． 解：选（D）． 评注：抛物线的平移主要抓住顶点坐标的变化，需要注意的是通常要将二次函数解析式化为顶点式，且平移时二次项系数不变． 例2 （2006年全国初中数学竞赛（海南赛区））根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）一个解x的范围是（ ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.07 （A）3x3.23 （B）3.23x3.24 （C）3.24x3.25 （D）3.25x3.26 分析：观察表格知，随x（x0）的增大，二次函数y=ax2+bx+c的值由负到正．而当x取3.24时，ax2+bx+c=-0.02是负数；当x取3.25时，ax2+bx+c=0.03是正数．故可以推知借于3.24和3.25之间的某一x值，必然使ax2+bx+c=0． 解：3.24x3.25，选C． 评注 例3 ax2+bx+c图象的大致位置如右图所示，则ab，bc，2a+b，（a+c）2-b2，（a+b）22，b22等代数式的值中，正数有（ ） （A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个 分析：显然，a0，c0，b0，由-1， 得b-2a，所以2a+b0； 由a-b+c0得（a+c）2-b2=（a+b+c）（a-b+c）0； 由a+b+c0得a+b-c0，因此 （a+b）2-c20，│b││a│，b2-a