奥数题型与解题思路21~40讲.docVIP

21、数字和与最大最小问题 　　【数字求和】 　　例1 100个连续自然数的和是8450，取其中第1个，第3个，第5个，………，第99个（所有第奇数个），再把这50个数相加，和是______。 　　（上海市第五届小学数学竞赛试题） 　　讲析：第50、51两个数的平均数是8450÷ 100= 84. 5，所以，第50个数是84。则100个连续自然数是： 　　35，36，37，………，133，134。 　　上面的一列数分别取第1、3、5、……、99个数得： 　　35，37，39，……131，133。 　　则这50个数的和是： 　　 　　例2 把1至100的一百个自然数全部写出来，所用到的所有数码的和是_____。 　　（上海市第五届小学数学竞赛试题） 　　讲析；可把1至100这一百个自然数分组，得 　　（1、2、3、……、9），（10、11、12、……、19），（20、21、22、……29），……，（90、91、92、……99），（100）。 　　容易发现前面10组中，每组的个位数字之和为45。而第一组十位上是0，第二组十位上是1，第三组十位上是2，……第十组十位上是9，所以全体十位上的数字和是（l+2+3+……+9）×10=450。故所有数码的和是45×10+450+l=901。 　　 续若干个数字之和是1992，那么a=____。 　　（北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 　　 　　又，1992÷27=73余21，而21=8+5+7+1，所以 a=6。 　　例4 有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外一个数，用这种方法计算了四次，分别得到四个数：86，92，100，106。那么，原来四个数的平均数是 　　（1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 　　讲析：每次所选的三个数，计算其平均数，实际上就是计算这三个数中 原来四个数的平均数为（86+92+100+106）÷2=192。 　　【最大数与最小数】 　　例1 三个不同的最简真分数的分子都是质数，分母都是小于20的合数，要使这三个分数的和尽可能大,这三个分数是 　　（全国第四届《从小爱数学》邀请赛试题）。 　　讲析： 20以内的质数有： 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19 　　要使三个分数尽量大，必须使每个分子尽量大而分母尽量小。且三个真 　　例2 将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分成三组，分别计算各组数的和。已知这三个和互不相等，且最大的和是最小和的2倍。问：最小的和是多少？ 　　（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题） 　　讲析；因为1+2+3+……+8=36，又知三组数的和各不相同，而且最大的 　　例3 把20以内的质数分别填入□中（每个质数只用一次）： 　　 　　使A是整数。A最大是多少？ 　　（第五届《从小爱数学》邀请赛试题） 　　讲析：要使A最大，必须使分母尽量小，而分子尽量大。 　　分母分别取2、3、5时，A都不能为整数。当分母取7时， 　　 　　例4 一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25。除1之外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和。问：这组数之和的最大值是多少？当这组数之和有最小值时，这组数都有哪些数？并说明和是最小值的理由。 　　（全国第四届“华杯赛”决赛第一试试题） 　　 析：观察自然数1、2、3、4、5、……、25这25个数，发现它们除1之外，每个数都能用其中某一个数的2倍，或者某两个数之和表示。因此，这组数之和的最大值是1+2+3+……+25=325。 　　下面考虑数组中各数之和的最小值。 　　1和25是必取的，25不能表示成一个数的2倍，而表示成两个数之和的形式，共有12种。我们取两个加数中含有尽可能大的公约数的一组数（20+5）或者（10+15）。当取1、5、20、25时，还需取2、3、10三个；当取1、10、15、25时，还需取2、3、5。经比较这两组数，可知当取1、2、3、4、5、10、15、25时，和最小是61。 22、数字串问题 　　【找规律填数】 　　例1 找规律填数 　　 　　　　1992年武汉市小学数学竞赛试题） 　　讲析：数列填数问题，关键是要找出规律；即找出数与数之间有什么联系。 　　第（1）小题各数的排列规律是:第1、3、5、……（奇数）个数分别 别是4和2。 　　第（2）小题粗看起来，各数之间好像没有什么联系。于是，运用分数 得到了　 　　 　　 2 右表中每竖行的三个数都是按照一定的规律排列的。按照这个规律在空格中填上合适的数。 　　（1994年天津市小学数学竞赛试题） 　　讲析：根据题意，可找出每竖行的三个数之间的关系。不难发现每竖行中的第三个数，是由前两数相乘再加上1得来的。所以空格中应填33。 　　【数列的有