线性代数 第二章 第4节.ppt

第二章小结 矩阵作为元素，可以进行运算，本章主要介绍了矩阵的几种常见运算，矩阵的逆及矩阵的乘法作为两种重点运算，要注意掌握，分块矩阵是矩阵的技巧运算。 * §4 矩阵分块法 ★矩阵分块 ★分块矩阵的运算 下页 关闭 大矩阵的运算相对较难，本节借助于分块矩阵的概念将大矩阵的运算转化成小矩阵的运算，从而简化矩阵的运算。 对于行数和列数都较高的矩阵A，运算时常采 用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。 将矩阵分成一些小的矩阵，每个小的矩阵称A 的子块，以块为元素的矩阵称为分块矩阵。 上页 下页 返回 例如将 3×4 的矩阵 分成子块的方法很多，下面举出二种分块形式： 上页 下页 返回 分法(1)可记为 对于分法 上页 下页 返回 分块矩阵的运算规则与普通矩阵相似，分别说明如下： (1). 设矩阵A 与B 的行数相同、列数相同，采用相同的分块法，有 其中Aij 与Bij 的行数相同、列数相同， 分块矩阵的运算规则 那么 上页 下页 返回 上页 下页 返回 （3）设A为 m×k 矩阵，B 为 k×n 矩阵， 其中Ai1 , Ai2 , … , Ait 的列数分别等于B1j , B2j , … , Btj 的行数， 分块成 那么 上页 下页 返回 求AB。 例11 设 把A、B分块成 解 上页 下页 返回 上页 下页 返回 (5) 设 A 为 n 阶方阵，若 A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方阵， 其中Ai ( i = 1,2,…,s ) 都是方阵，那么称 A 为分块对角阵。 即 上页 下页 返回 性质： |A| = |A1| |A2| … |As| . 若|Ai |≠ 0 （i = 1,2,…,s ），则|A|≠0，并有 上页 下页 返回 解 例12 上页 下页 返回 对矩阵分块时，有两种分块法应予特别重视，这就是按行分块和按列分块。 m×n矩阵A有m行，称为矩阵A的m个行向量。 第i 行记作 则矩阵A便记为 上页 下页 返回 m×n矩阵A有n列，称为矩阵A的n个列向量。 第i 列记作 则矩阵A便记为 上页 下页 返回 对于线性方程 其中A 称为系数矩阵，x称为未知数向量，b称为常数项向量，B 称为增广矩阵。 上页 下页 返回 按分块矩阵的记法，可记 利用矩阵的乘法，方程组可记作 如果把系数矩阵A按行分成m块，则线性方程组 可记作 相当于把每一个方程 上页 下页 返回 如果把系数矩阵A按列分成n块，则与A相乘的x应对应地按行分成n块，从而记作 上页 下页 返回 解 把上面矩阵分块成 其中 Ex.7 上页 下页 返回 于是 上页 下页 返回 上页 下页 返回 上页 返回 下页 下页 上页 返回 *