第一章 矩阵_分块矩阵及其运算.ppt

* 第一章 矩阵 §3 分块矩阵 §3 分块矩阵及其运算 ? ? 在许多工程问题的矩阵计算中，由于矩阵的阶数一般很高，因此，为了使矩阵的结构更清楚，同时也为了利用矩阵所具有的某些特点，常常采用分块法，将大矩阵的运算化成一些小矩阵的运算。 一. 基本概念 第一章 矩阵 §3 分块矩阵 1 0 0 1 2 0 1 0 4 5 0 0 1 7 6 3 2 1 0 0 6 5 4 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 4 5 0 0 1 7 6 3 2 1 0 0 6 5 4 0 0 = E3 B C O2 ? ? 分块矩阵(partitioned matrix) 对于行数和列数较高的矩阵，我们用若干条纵线和横线将其分成许多个小矩阵，每个小矩阵称为原来矩阵的子阵或子块，以这些子块为元素所构成的矩阵称为分块矩阵。 第一章 矩阵 §3 分块矩阵 A = [A1, A2, …, An]. 二. 常用的分块法 1. ? A = a11 a21 am1 a12 a22 am2 … … … a1n a2n amn … … … …, A1 = , a11 a21 am1 … An = , a1n a2n amn … A2 = , a12 a22 am2 … 第一章 矩阵 §3 分块矩阵 ?1 = [a11, a12, …, a1n], ?1 ?2 … ?m A = . 2. ? a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … am1 am2 … amn A = ?2 = [a21, a22, …, a2n], ?m = [am1, am2, …, amn], … 矩阵的分块可以是任意的，具体分块方法的选取，主要取决于问题的需要和矩阵自身的特点。 第一章 矩阵 §3 分块矩阵 A = A1 O … O O A2 … O … … … … O O … As , 称为分块对角矩阵(或准对角矩阵), 其中A1, A2, …, As都是方阵. 2. 分块对角矩阵(semi-diagonal matrix) ? 例如 2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 3 4 . 三. 基本运算 分块加法 设矩阵A与矩阵B的行数和列数， 　　　 且采用相同的分块法，则 A = A11 A12 … A1r A21 A22 … A2r … … … … As1 As2 … Asr , B = B11 B12 … B1r B21 B22 … B2r … … … … Bs1 Bs2 … Bsr , ? A11+B11 A12+B12 … A1r +B1r A21+B21 A22+B22 … A2r +B2r … … … … As1+Bs1 As2+Bs2 … Asr +Bsr . A + B = 分块矩阵有着与普通矩阵相类似的运算方法和性质。 设矩阵A = A11 A12 … A1r A21 A22 … A2r … … … … As1 As2 … Asr , ?为常数. ?A11 ?A12 … ?A1r ?A21 ?A22 … ?A2r … … … … ?As1 ?As2 … ?Asr . 则?A = 2. 分块数乘 第一章 矩阵 §3 分块矩阵 ? 3. 分块乘法 设A为m?l矩阵, B为l ?n矩阵, 将它们分块如下 A = A11 A12 … A1t A21 A22 … A2t … … … … As1 As2 … Ast , B = B11 B12 … B1r B21 B22 … B2r … … … … Bt1 B