§2.3 矩阵的运算.ppt

* * * * 线性代数 第二章 §2.3 * * * * 线性代数第一章 §1.1 §2.3 矩阵的运算 一、矩阵的加法 1、定义 注意:只有同型矩阵才能进行加法运算. 若 规定 2、运算规律（设ＡＢＣＯ均是同型矩阵） （1） （交换律） （2） （结合律） （3） （4） （5） （减法） 例如 1、定义 二、数与矩阵相乘 2、数乘矩阵的运算规律 矩阵的加减与数乘运算,统称为矩阵的线性运算. （设 为 矩阵， 为数） 例2.1 设 求 A－2B 解： １、定义 并把此乘积记作 三、矩阵与矩阵相乘 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那么规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中 注： 1）条件 左矩阵Ａ的列数等于右矩阵Ｂ的行数 2）方法 等于左矩阵 的第 行与右矩阵 的第 列对应元素 左行右列法——矩阵乘积 的元素 乘积的和. 3）结果 左行右列——左矩阵Ａ的行数为乘积 Ｃ的行数，右矩阵Ｂ的列数为乘积Ｃ的列数. 例１ 设 例2 解 故 注意　只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘. 例如 不存在. 例3 计算 解 ２、矩阵乘法的运算规律 （其中 为数）; 注意　矩阵乘法不满足交换律，即： 例 设 则 但也有例外，比如设 则有 定义 对于矩阵 ，若 ，称 与 可交换. 例2 设 ，求 的所有可交换矩阵. 解 设 ，于是 即 建立方程组得 所以 线性方程组的矩阵表示 四、方阵的幂 1、定义 注： 只有方阵的幂才有意义. （1） （2） （3） 注： （1） （2） 2、运算规律 (设A,B都是n阶方阵， ) 例3 设 ，计算 解 推测 由归纳法知，推测正确 解 例4 1、方阵的行列式 定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或 运算性质 四、矩阵的其它运算 例5 已知 解 所以 易见 定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . 例 2、转置矩阵 转置矩阵的运算性质 例6 已知 解法1 解法2 例7 对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等. 如 对称矩阵 定义 设 为 阶方阵，若 ，即 ， 那么 称为对称矩阵. 两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵, 对称矩阵的数乘也是对称矩阵.但两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵. 特别 定义 设 为 阶方阵，若 ，即 ， 那么 称为反对称矩阵. 反对称矩阵的主要特点是:主对角线上的元素为0,其余的元素关于主对角线互为相反数. 如 两个同阶的反对称矩阵的和还是反对称矩阵,反对称矩阵的数乘也是反对称矩阵.但两个反对称矩阵的乘积不一定是反对称矩阵. 特别 反对称矩阵 例8 设列矩阵 满足 证明