线性代数第二章(B)1.ppt

机动 目录 上页 下页 返回 结束 设方程 A 满足 证明 证明: 由: 均可逆,并求它们的逆阵. 所以: 又由: 所以: 【例21】 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 求 A及B = (A|b) 的秩. 分析: 用初等行变换将 化为行阶梯形矩阵 则 解: 【例22】设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 求A中所有代数余子式 解: 因为 就是 A*的所有元素之和,由 之和 【例23】设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 补充: 1. 设三阶矩阵 A B 满足 且 , 求B. 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 对于可逆分块对角阵 A 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 讲解作业: 43，44，46 【例13】设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 求 解: 由 得: 【例14】设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §5、 初等变换与初等阵 一、初等阵 1. 定义1： 下列三种方阵称为初等阵 问题：用伴随阵求A-1很复杂，怎样用简便的方法求A-1？ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 初等阵均为非异阵，且逆阵也是初等阵。 ① ② ③ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、初等变换 1. 定义2： 下列三种变换称为初等行（列）变换 ①　以一非零常数 k 乘矩阵 A 的某行（列） A 的 i 行乘以 k 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ②　交换矩阵 A 的任意两行（两列）的位置 A 的 i，j 行交换 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ③ 将A 中某行（列）的ｋ倍加到另一行（列）上去 A 的 j 行乘以 k 倍加到 i 行上去 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释： 1）对行与行（列与列）的变换，称为行（列） 2）对矩阵 A 施行(列)的初等变换后 表示， 3）对矩阵的初等变换可连续进行. 初等变换. 一般情况下不再与 A 相等, 因此用 即: 得到的矩阵 B ， 4）A经过有限次初等变换化为B,则称A,B等价. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 初等阵与初等变换： ① ② A 的 i 行乘以 k A 的 i，j 行交换 A 的 j 行乘以 k 倍加到 i 行上去 ① ② ③ A 的 i 列乘以 k A 的 i，j 列交换 A 的 i 列乘以 k 倍加到 j 列上去 ③ 例. (1) 求 (2) 设 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三次作业: P102 37， 45,　 　　51, 　　52. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 利用初等变换化简矩阵： 行最简矩阵 行阶梯形矩阵 其中：“ * ” 表示该数不为 0 , “ ” 表示该数任意 。 第四次课 机动 目录 上页 下页 返回 结束 最简矩阵 三角形矩阵 标准形S 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1）Th1:（最重要的定理） 次（行、列）初等变换， 化为如下最简形式： 任何一个矩阵 A 可经过若干 ① 推论1:对 ,使得: 存在m 阶初等阵 ,n 阶初等阵 如果 A 非异，则 ② 推论2: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 【例15】利用初等变换化简下列矩阵为阶梯型矩阵, 三角形矩阵,　最简矩阵. 阶梯型矩阵 三角形矩阵 最简矩阵 方法：①利用行初等变换化为行阶梯型矩阵； ③利用初等变换将主对角线元素化为1，其余元素化为0。 ②利用列初等变换化为三角形矩阵; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ① 推论3:对非异阵An 存在n 阶初等阵 ,使得: 2) Th2:对非异矩阵 A 可用行变换化为I . 由推论3有: 相当于做行变换 ③ 求逆矩阵的第二种方法: 初等行变换 ② 推论4:对非异阵An 存在n 阶初等阵 ,使得: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 【例16】求矩阵 的逆矩阵. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §6、 矩阵的秩 一、秩的概念　 １.定义１:设 中有一个 r 阶子式 不为０,而所有r+1 ( 取 A 中某 r 行 r 列元素